云书歌谣=+-
滑动摩擦力为
N
f F
μ
=
在水平方向上
cos
f Fθ
=
解得
12
()
cos sin
m m g
F
μ
θμθ
+
=
+
由三角函数知识，得F的最小值为
12
min2
15N
1
F
μ
==
+
此时有
3
tan
3
θμ
==
30
θ=?
BC错误，AD正确。
故选AD。
12．如图所示两个半圆柱A、B紧靠着静置于粗糙水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R，A、B半圆柱与水平地面间动摩擦因数保持不变。现用水平向左的力拉B，使B缓慢移动，直至C恰好与地面接触前瞬间，整个过程中A保持静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则（）
A．整个过程中A、C间相互作用力先增大后减小
B．整个过程中A、C间相互作用力一直增大
C．A与地面间摩擦力大小不变
D．B与地面间摩擦力大小不变
【答案】BD
【解析】
【分析】
【详解】
AB．设圆柱C的质量为m，则A、B的质量为
1
2
m，对圆柱C受力分析，如图所示
由于B缓慢移动，可认为A、B、C处于平衡状态，根据平衡条件可知
1
cos cos
2
A B
F F mg
θθ
==
当B向左运动时，A
F、
B
F之间夹角θ逐渐变大，则cosθ值变小，可得A F、B F的大小一直增大，根据牛顿第三定律可知，整个过程中A、C间的相互作用力也一直增大，所以A 错误，B正确；
C．对圆柱A受力分析，如下图
由AB项分析可知，当B
向左运动时，A
F的值逐渐变大，根据牛顿第三定律可知，
A
F'的值也逐渐增大，根据平衡条件可得
1
sin
f A
F Fθ
'
=
由于θ逐渐变大，所以1f F逐渐增大，即地面对A的摩擦力逐渐变大，C错误；
D．对圆柱B受力分析，如下图
由于B缓慢移动，所以处于平衡状态，根据平衡条件可知，地面对B的支持力为
2
1
cos
2
N B
F F mg
θ
'
=+
由AB项分析可知
1
cos cos
2
B B
F F mg
θθ
'==
可得
2
N
F mg
=
由于B与地面之间是滑动摩擦力，根据公式f N
F F
μ
=可知
2
f
F mg
μ
=
所以B与地面间的摩擦力大小不变，D正确。
故选BD。
13
．如图所示直角三角形框架OMN 的OM 、ON 初始位置分别处于水平和竖直方向上，且30NMO ∠=?，一个重为G 的光滑小球位于框架内且恰好与OM 、ON 、MN 三边相切，但接触点未必都有弹力。现以O 点为轴缓慢将框架在同一竖直平面内顺时针转动一周的过程中，下列说法正确的是（ ）
A ．转动θ为0到2
π的过程中，MN 边受到小球的压力一直为零。 B ．转动一周的过程中，当MN 边第一次处于竖直位置时ON 边受到的力最大且为
233G C ．转动一周的过程中OM 边受到的力最大值为2G
D ．转动一周的过程中有可能存在使OM 、ON 、MN 三边都同时受力的位置
【答案】ABC
【解析】
【分析】
【详解】
A ．转动θ为0到
2
π的过程中如图所示，MN 边在小球的上方，MN 边受到小球的压力一直为零，故A 正确；
BCD ．转动一周的过程中，当MN 边在小球的上方时，MN 边受到小球的压力一直为零，设ON 边与水平方向的夹角为1θ，如图所示
根据平衡条件可得ON 边受到的力
21cos θN F G G =<
OM 边受到的力
11sin θN F G G =<
当OM 边在小球的上方时，OM 边受到小球的压力一直为零，设MN 边与水平方向的夹角为2θ
，如图所示
根据平衡条件和正弦定理可得
2
sin 60sin θON F G =? 可知，当290θ=?时，即MN 边第一次处于竖直位置时ON 边受到的力最大，最大为
23sin 60ON G F ==? 当ON 边在小球的上方时，ON 边受到小球的压力一直为零，设OM 边与水平方向的夹角为3θ，如图所示
根据平衡条件和正弦定理可得
3
sin30sin(150)
OM
F
G
θ
=
??-
可知，当360
θ=?时，OM边受到的力最大，最大为
2
sin30
ON
G
F G
==
?
所以转动一周的过程中不可能存在使OM、ON、MN三边都同时受力的位置，故B、C 正确，D错误；
故选ABC。
14．如图所示，将质量为m的小球用橡皮筋悬挂在竖直墙的O点，小球静止在Q点，P为O点正下方一点，OP间的距离等于橡皮筋原长，在P点固定一光滑圆环，橡皮筋穿过圆环。现对小球施加一个外力F，使小球沿以PQ为直径的圆弧缓慢向上运动，不计一切阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）
A．小球在Q向P运动的过程中外力F的方向始终跟橡皮筋垂直
B．小球在Q向P运动的过程中外力F的方向始终水平向右
C．小球在Q向P运动的过程中外力F逐渐增大
D．小球在Q向P运动的过程中外力F先变大后变小
【答案】AC
【解析】
【分析】
【详解】
设圆的半径为R，则
2
PQ R
=
OP为橡皮筋的原长，设劲度系数为k，开始时小球二力平衡有
2
k R mg
?=
当移动到橡皮筋与竖直方向成θ角时，受力分析：
弹力大小为
2cos cos
T kR mg
θθ
==
所以有
sin
F mg
θ
=
且方向跟橡皮筋垂直，移动过程中θ一直增大，sinθ一直增大，F一直增大，AC正确，BD错误。
故选AC。
15．粗糙水平面上a、b、c、d四个相同小物块用四根完全相同的轻弹簧连接，正好组成一个等腰梯形，系统静止。ab之间、ac之间以及bd之间的弹簧长度相同且等于cd之间弹簧长度的一半。ab之间弹簧弹力大小为cd之间弹簧弹力大小的一半。若a受到的摩擦力大小为f，则（）
A．ab之间的弹簧一定是压缩的B．b受到的摩擦力大小为f
C．c3D．d受到的摩擦力大小为2f
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由题可知本题考查力的平衡和弹簧的弹力。
【详解】
A ．设弹簧的原长为0L ，ab 之间弹簧的长度为L ，则cd 之间弹簧长度为2L ，因为ab 之间弹簧弹力大小为cd 之间弹簧弹力大小的一半，所以有
0022k L L k L L -=-
即有
02L L L <<
ab 之间、ac 之间以及bd 之间的弹簧一定是压缩的，选项A 正确；
B ．由对称性可知b 受到的摩擦力和a 受到的摩擦力大小相同，等于f ，选项B 正确； CD ．对a 进行受力分析可知其所受摩擦力大小等于ab 间弹簧和ac 间弹簧的合力大小，由于ab 之间、ac 之间的弹簧长度相同且都是压缩的，所以两个弹簧对a 的弹力大小相等，又因夹角为120°，所以两个弹簧对a 的弹力大小都为f 。d 受到两个弹簧的弹力，大小分别为f 、2f ，夹角为120
°，由平行四边形定则与几何知识可知二者的合力等于，由三力平衡条件可知d
，同理c
受到的摩擦力大小也为，选项C 正确，D 错误。
故选ABC 。
