轻烟薄雾①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得23
y=±．
当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．
②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-． 综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-，如图2所示．
图2 图3
考点伸展
如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．
由23323
(4)(2)663
y x x x =--=--+
，得抛物线的顶点为23(2,)3D ． 因此23
tan 3
DOA ∠=．所以∠DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．
例3 2011年湖州市中考第24题
如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．
（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；
（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P 在OC 上运动，可以体验到，△APD 的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”， 拖动点P 由O 向C 运动，可以体验到，点H 在以OM 为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．
思路点拨
1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．
3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ．
满分解答
（1）因为PC //DB ，所以
1CP PM MC
BD DM MB
===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．
（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．
①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得3
2
m =（如图3）．
②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得4
3m =
（如图4）或4m =（不合题意，舍去）． ③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得2
3m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．
综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或2
3．
图3 图4 图5
（3）点H 所经过的路径长为
5
4
π． 考点伸展
第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：
①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以1
2
PC MB CM BA ==．因
此12PC =，3
2
m =．
②如图4，当P A ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得4
3
m =．
第（2）题的思路是这样的：
如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．
图6 图7
例4 2011年盐城市中考第28题
如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数
4
3
y x
=的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P 从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR 的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P 在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．
思路点拨
1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．
2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．
3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．
满分解答
（1）解方程组
7,
4
,
3
y x
y x
=-+
?
?
?
=
??
得
3,
4.
x
y
=
?
?
=
?
所以点A的坐标是(3，4)．
令70
y x
=-+=，得7
x=．所以点B的坐标是(7，0)．
（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由8
APR ACP POR
CORA
S S S S
=--=
△△△
梯形
，得
111
3+7)44(4)(7)8
222
t t t t
-?-??--?-=
（．整理，得28120
t t
-+=．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．
因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．
图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．
如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，42
AB=，所以OB＞AB
．因此
∠OAB＞∠AOB＞∠B．
如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．
因此∠AQP＝45°保持不变，∠P AQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．
我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．
在△APQ中，
3
cos
5
A
∠=为定值，7
AP t
=-，
5520
333
AQ OA OQ OA OR t
=-=-=-．
如图5，当AP＝AQ时，解方程
520
7
33
t t
-=-，得
41
8
t=．
如图6，当QP＝QA时，点Q在P A的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程72[(7)(4)]
t t t
-=---，得5
t=．
如7，当P A＝PQ时，那么
1
2
cos
AQ
A
AP
∠=．因此2cos
AQ AP A
=?∠．解方程
5203
2(7)
335
t t
-=-?，
得
226
43
t=．
综上所述，t＝1或
41
8
或5或
226
43
时，△APQ是等腰三角形．
图5 图6 图7
考点伸展
当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cos
AP AQ A
=?∠来求解．
例5 2010年上海市闸北区中考模拟第25题
如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．
(1)求证：MN∶NP为定值；
(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；
(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，
可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．
思路点拨
1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．
2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．
3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．
4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出来，再分类计算．
满分解答
(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒．
在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t，AQ＝3t．
在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．
在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．
(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．
如图4，△BNP∽△MNA，在Rt△AMN中，
3
5
AN
AM
=，所以
53
1025
t
t
=
-
．解得
30
31
t=．此时
CM
60
31
=．
图2 图3 图4
(3)如图5，图6，图7中，
OP MP
QN MN
=，即
2
45
OP
t
=．所以
8
5
OP t
=．
①当N在AB上时，在△BNP中，∠B是确定的，
8
8
5
BP t
=-，105
BN t
=-．
(Ⅰ)如图5，当BP＝BN时，解方程
8
8105
5
t t
-=-，得
10
17
t=．此时CM
20
17
=．
(Ⅱ)如图6，当NB＝NP时，
4
5
BE BN
=．解方程()
184
8105
255
t t
??
-=-
?
??
，得
5
4
t=．此时
CM
5
2
=．
(Ⅲ)当PB＝PN时，
14
25
BN BP
=．解方程()
148
1058
255
t t
??
-=-
?
??
，得t的值为负数，因此
不存在PB＝PN的情况．
②如图7，当点N在线段AB的延长线上时，∠B是钝角，只存在BP＝BN的可能，此时
510
BN t
=-．解方程
8
8510
5
t t
-=-，得
30
11
t=．此时CM
60
11
=．
图5 图6 图7
考点伸展
如图6，当NB＝NP时，△NMA是等腰三角形，
14
25
BN BP
=，这样计算简便一些．
