轻烟薄雾我们换个思路解答第（3）题：
如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．
通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°． 在Rt △BGH 中，1sin 110∠=，3cos 110
∠=．
①当
3BQ
BA
=时，310BQ =． 在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =?∠=，cos 19BN BQ =?∠=． 当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --．
②当13BQ BA =时，1103BQ =．同理得到31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．
例4 2011年上海市杨浦区中考模拟第24题
Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k
y k x
=
≠在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．
（1）求m 与n 的数量关系；
（2）当tan ∠A ＝
1
2
时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A 在x 轴上运动，可以体验到，直线AB 保持斜率不变，n 始终等于m 的2倍，双击按钮“面积BDE ＝2”，可以看到，点E 正好在BD 的垂直平分
线上，FD //x 轴．拖动点P 在射线FD 上运动，可以体验到，△AEO 与△EFP 相似存在两种情况．
思路点拨
1．探求m 与n 的数量关系，用m 表示点B 、D 、E 的坐标，是解题的突破口． 2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD //x 轴．
3．如果△AEO 与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．
满分解答
（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数k
y x =的图象上，所以4,2.
m k n k =??=? 整理，得n ＝2m ．
（2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝1
2
，EH ＝
2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)．
已知△BDE 的面积为2，所以11
(1)2222
BD EH m ?=+?=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．
因为点D （4，1）在反比例函数k y x =
的图象上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4
y x
=． 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (4，3)、E (2，2)，得34,22.k b k b =+??=+?
解得1
2k =，1b =．
因此直线AB 的函数解析式为1
12
y x =
+．
图2 图3 图4
（3）如图3，因为直线1
12
y x =+与y 轴交于点F （0，1），点D 的坐标为（4，1），所以FD //
x 轴，∠EFP ＝∠EAO ．因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况：
①如图3，当EA EF
AO FP
=
时，2552FP =．解得FP ＝1．此时点P 的坐标为（1，1）． ②如图4，当EA FP
AO EF =
时，2525
FP =．解得FP ＝5．此时点P 的坐标为（5，1）．
考点伸展
本题的题设部分有条件“Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限
制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：
第（1）题的结论m 与n 的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12
y x
=-，直线AB 为1
72
y x =
-．第（3）题FD 不再与x 轴平行，△AEO 与△EFP 也不可能相似．
图5
例5 2010年义乌市中考第24题
如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．
思路点拨
1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．
2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．
3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．
满分解答
（1）抛物线的对称轴为直线1
x=，解析式为2
11
84
y x x
=-，顶点为M（1，
1
8
-）．
（2）梯形O1A1B1C1的面积12
12
2(11)
3()6
2
x x
S x x
-+-?3
==+-，由此得到12
2
3
s
x x
+=+．由于
21
3
y y
-=，所以22
212211
1111
3
8484
y y x x x x
-=--+=．整理，得2121
11
()()3
84
x x x x
??
-+-=
??
??
．因此得到
21
72
x x
S
-=．
当S=36时，21
21
14,
2.
x x
x x
+=
?
?
-=
?
解得1
2
6,
8.
x
x
=
?
?
=
?
此时点A1的坐标为（6，3）．
（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．
在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．
在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．
因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．
由于
3
tan
4
GAF
∠=，tan
5
DQ t
PQD
QP t
∠==
-
，所以
3
45
t
t
=
-
．解得
20
7
t=．
图3 图4
考点伸展
第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．
例6 2010年上海市宝山区中考模拟第24题
如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线2
2y mx mx n =++上．
（1）求m 、n ； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A ′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A ′B ′B 为菱形．再拖动点D 在x 轴上运动，可以体验到，△B ′CD 与△ABC 相似有两种情况．
思路点拨
1．点A 与点B 的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B ′ 的坐标、AC 和B ′C 的长．
2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．
3．探求△ABC 与△B ′CD 相似，根据菱形的性质，∠BAC ＝∠CB ′D ，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．
满分解答
(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线2
2y mx mx n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=??++=?
解得4
3
m =-
，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′
＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--
=x x y ()2
416133
x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．
因此平移后的抛物线的解析式为()3
16434
2,
+--
=x y ．
图2
(3) 由点A (-2，4) 和点B ′ (6，0)，可得A B ′＝45． 如图2，由AM //CN ，可得
''''B N B C
B M B A
=
，即2'845B C =．解得'5B C =．所以35AC =．根据菱形的性质，在△ABC 与△B ′CD 中，∠BAC ＝∠CB ′D ．
①如图3，当'
'A B B C A C B D =
时，55'35B D
=，解得'3B D =．此时OD ＝3，点D 的坐标为（3，0）．
②如图4，当
''AB B D AC B C =
时，5'355
B D =，解得5'3B D =．此时OD ＝13
3，点D 的坐标为（
13
3
，0）．
图3 图4
考点伸展
在本题情境下，我们还可以探求△B ′CD 与△AB B ′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角
形，容易想象，存在两种情况．
我们也可以讨论△B ′CD 与△C B B ′相似，这两个三角形有一组公共角∠B ，根据对应边成比例，分两种情况计算．
例7 2009年临沂市中考第26题
如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
,
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△P AM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△P AM与△OAC相似的三个情景．
双击按钮“第(3)题”，拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D 变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．
思路点拨
1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．
2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．
3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．
4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为)4
)(
1
(-
-
=x
x
a
y，
代入点C的坐标（0，－2），解得
2
1
-
=
a．所以抛物线的解析式为
2
2
5
2
1
)4
)(
1
(
2
1
2-
+
-
=
-
-
-
=x
x
x
x
y．
（2）设点P的坐标为))
4
