轻烟薄雾)(
1
(
2
1
,
(-
-
-x
x
x．
①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，)4
)(
1
(
2
1
-
-
-
=x
x
PM，x
AM-
=4．如果2
=
=
CO
AO
PM
AM
，那么2
4
)4
)(1
(
2
1
=
-
-
-
-
x
x
x
．解得5
=
x不合题意．
如果
2
1
=
=
CO
AO
PM
AM
，那么
2
1
4
)4
)(1
(
2
1
=
-
-
-
-
x
x
x
．解得2
=
x．
此时点P的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，)4
)(
1
(
2
1
-
-
=x
x
PM，4
-
=x
AM．
解方程2
4
)4
)(1
(
2
1
=
-
-
-
x
x
x
，得5
=
x．此时点P的坐标为)2
,5(-．
解方程
2
1
4
)4
)(1
(
2
1
=
-
-
-
x
x
x
，得2
=
x不合题意．
③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，)4
)(
1
(
2
1
-
-
=x
x
PM，x
AM-
=4．
解方程2
4
)4
)(1
(
2
1
=
-
-
-
x
x
x
，得3
-
=
x．此时点P的坐标为)
14
,3
(-
-．
解方程
2
1
4
)4
)(1
(
2
1
=
-
-
-
x
x
x
，得0
=
x．此时点P与点O重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或)
14
,3
(-
-或)2
,5(-．
图2 图3 图4
（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为2
2
1
-
=x
y．
设点D的横坐标为m)4
1(<
2 5 2 1 , (2- + -m m m，点E的坐标为 )2 2 1 , (- m m．所以)2 2 1 ( )2 2 5 2 1 (2- - - + - =m m m DE m m2 2 1 2+ - =． 因此4 ) 2 2 1 ( 2 1 2? + - = ? m m S DAC m m4 2+ - =4 )2 (2+ - - =m． 当2 = m时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）． 图5 图6 考点伸展 第（3）题也可以这样解： 如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN 和△ADM的面积． 设点D的横坐标为（m，n）)4 1(< 4 2 ) 4( 2 1 )2 ( 2 1 4 )2 2( 2 1 + + - = - - + - ? + =n m m n n m n S． 由于2 2 5 2 1 2- + - =m m n，所以m m S4 2+ - =． 例8 2009年上海市闸北区中考模拟第25题 如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cos A＝ 3 10 ．D为射线BA上的点（点D不与点B重合）， 作DE//BC交射线CA于点E.． (1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度； (3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由． 图1 备用图备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D可以在射线BA上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次． 双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到，△DEF 为等腰三角形． 思路点拨 1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形． 2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况． 3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题． 满分解答 （1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝ 3 10 AH AB =，所以AH ＝ 3 2 ＝ 1 2 AC．所以BH垂直平分AC，△ABC为等腰三角形，AB＝CB＝5． 因为DE//BC，所以 AB AC DB EC =，即53 y x =．于是得到 5 3 y x =，（0 x>）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以 DE AE BC AC =， MN AN BC AC =，即|3| 53 DE x - =， 1 |3| 2 53 x MN- =．因此 5|3| 3 x DE - =，圆心距 5|6| 6 x MN - =． 图2 图3 图4 在⊙M中， 115 226 M r BD y x ===，在⊙N中， 11 22 N r CE x ==． ①当两圆外切时， 51 62 x x +5|6| 6 x - =．解得 30 13 x=或者10 x=-． 如图5，符合题意的解为 30 13 x=，此时5(3)15 313 x DE - ==． ②当两圆内切时， 51 62 x x -5|6| 6 x - =． 当x＜6时，解得 30 7 x=，如图6，此时E在CA的延长线上，5(3)15 37 x DE - ==； 当x＞6时，解得10 x=，如图7，此时E在CA的延长线上，5(3)35 33 x DE - ==． 图5 图6 图7 （3）因为△ABC是等腰三角形，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF也是等腰三角形． 如图8，当D、E、F为△ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此 时BF＝2.5．根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF＝4.1． 如图9，当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形，此时 125 34 BF=． 图8 图9 图10 图11 考点伸展 第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH是△ABC的高，D、E、F为△ABC的 三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形． 1.2因动点产生的等腰三角形问题 例1 2012年扬州市中考第27题 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的 点M的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点 P落在线段BC上时，P A＋PC最小，△P AC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观 察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂 直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上， 但是有1次M、A、C三点共线． 思路点拨 1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△P AC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性． 满分解答 （1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1． 所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1． 当点P落在线段BC上时，P A＋PC最小，△P AC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． 由BH PH BO CO =，BO＝CO，得PH＝BH＝2． 所以点P的坐标为(1, 2)． 图2 （3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6 -)或(1,0)． 考点伸展 第（3）题的解题过程是这样的： 设点M的坐标为(1,m)． 在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2． ①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1． 此时点M的坐标为(1, 1)． ②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得6 m=±．此时点M的坐标为(1,6)或(1,6 -)． ③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6． 当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)． 图3 图4 图5 例2 2012年临沂市中考第26题 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙O 和⊙B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线． 请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形 思路点拨 1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验． 2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起． 满分解答 （1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C． 在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，23 OC=． 所以点B 的坐标为(2,23) --． （2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)， 代入点B(2,23) --，232(6) a -=-?-．解得 3 6 a=-． 所以抛物线的解析式为2 3323 (4) 663 y x x x x =--=-+． （3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．
