南海凝心；（2）证明见解析；（3）(2,2)- 【解析】 【分析】 【详解】
设1122(,),(,)A x y B x y .
（1）因为直线l 的倾斜角为45?，(1,0)F ，所以直线AB 的方程为1y x =-，联立方程组22
1
12
y x x y =-??
?+=??，消去y 并整理，得2340x x -=，则121242
,323
x x x x ++==，
故线段AB 的中点的横坐标为
2
3
． （2）根据题意得点11(,)C x y -，
若直线AB 的斜率为0，则直线AB 的方程为0y =，A 、C 两点重合，显然M ，B ，C 三点共线； 若直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为1x my =+，
联立方程组22
112
x my x y =+???+=??，消去x 并整理得22
(2)210m y my ++-=， 则121222
21
,22
m y y y y m m +=-=-++，设直线BM 、CM 的斜率分别为BM k 、CM k ， 则2121122112121222112121212
(2)(2)(1)(1)2()
22(2)(2)(1)(1)1()BM CM y y y x y x y my y my my y y y k k x x x x my my m y y m y y --+--+--+-=
-====-------++2
2
22
2222220
2122
m m m m m m m m -+++=+-
++，即BM k =CM k ，即M ，B ，C 三点共线．
（3）根据题意，得直线GH 的斜率存在，设该直线的方程为(2)y k x =-， 设003344(,),(,),(,)P x y G x y H x y ，
联立方程组22
12
(2)x y y k x =+=-?????，消去y 并整理，得2222
(12)8820k x k x k +-+-=， 由4
2
2
644(12)(82)0k k k ?=-+->，整理得2
1<2k ，又22343422
882
,1212k k x x x x k k -+==++，
所以34342
4(4)12k
y y k x x k +=+-=-+，
结合OG OH OP λ+=，得034034,x x x y y y λλ=+=+，
当0λ=时，该直线为x 轴，即0y =，
此时椭圆上任意一点P 都满足OG OH OP λ+=，此时符合题意；
当0λ≠时，由OG OH OP λ+=，得2
020*********k x k k y k λλ?=???+?-?=??+?
，代入椭圆C 的方程，得4222222232161(12)(12)k k k k λλ+=++，整理，得2222
16161122k k k λ==++， 再结合21<2
k ，得到20<<4λ，即(2,0)(0,2)λ∈-， 综上，得到实数λ的取值范围是(2,2)-．
22．已知函数()cos x f x x
=，()sin cos g x x x x =+. （1）判断函数()g x 在区间()0,2π上的零点的个数；
（2）记函数()f x 在区间()0,2π上的两个极值点分别为1x 、2x ，求证：()()12
0f x f x +<. 【答案】（1）2；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用导数分析函数()y f x =在区间()0,2π上的单调性与极值，结合零点存在定理可得出结论； （2）设函数()y f x =的极大值点和极小值点分别为1x 、2x ，由（1）知1,2x ππ??∈ ???，23,22x ππ??∈ ???，且满足()sin cos 01,2i i i x x x i +==，1tan i i
x x =-，于是得出()()1212sin sin f x f x x x +=--，由1211x x >得12tan tan x x ->-，利用正切函数的单调性推导出122
x x πππ<<-<，再利用正弦函数的单调性可得出结论.
【详解】
（1）()sin cos g x x x x =+，()cos g x x x '∴=，
02x π<<，当0,2x π??∈ ???时，cos 0x >，cos 0x x >，()0g x '>，则函数()y g x =在0,2π?? ???
上单调递增； 当3,22x ππ??∈ ???时，cos 0x <，cos 0x x <，()0g x '<，则函数()y g x =在3,22ππ?? ???上单调递减；
当3,22x ππ??∈ ???
时，cos 0x >，cos 0x x >，()0g x '>，则函数()y g x =在3,22ππ?? ???上单调递增. ()010g =>，022g ππ??=> ???，()10g π=-<，33022g ππ??=-< ???
，()210g π=>. 所以，函数()y g x =在0,2π?
? ???与3,2ππ?
? ???不存在零点，在区间,2ππ?? ???和3,22ππ?? ???上各存在一个零点. 综上所述，函数()y g x =在区间()0,2π上的零点的个数为2；
（2）()cos x f x x =，()()22
sin cos g x x x x f x x x +∴=--'=. 由（1）得，()sin cos g x x x x =+在区间,2ππ??
???与3,22ππ?? ???上存在零点， 所以，函数()y f x =在区间,2ππ?? ???与3,22ππ?? ???上各存在一个极值点1x 、2x ，且1,2x ππ??∈ ???，23,22x ππ??∈ ???
， 且满足()0i g x =即()sin cos 01,2i i i x x x i +==，1tan i i
x x =-， ()()12121212
cos cos sin sin x x f x f x x x x x ∴+=+=--， 又123222
x x ππππ<<<<<，1211x x ∴>即12tan tan x x ->-，()122tan tan tan x x x π<=-， 1,2x ππ??∈ ???，23,22x ππ??∈ ???，2,2x πππ??∴-∈ ???
， 由tan y x =在,2x ππ??∈ ???
上单调递增，得122x x πππ<<-<， 再由sin y x =在,2x ππ??∈
???上单调递减，得()122sin sin sin x x x π>-=- 12sin sin 0x x ∴+>，即()()120f x f x +<.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，同时也考查了利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
23．已知椭圆22
22:1(0)x y
C a b a b +=>>的左焦点坐标为(，A ，B 分别是椭圆的左，右顶点，P 是
椭圆上异于A ，B 的一点，且PA ，PB 所在直线斜率之积为14
-
. （1）求椭圆C 的方程； （2）过点(0,1)Q 作两条直线，分别交椭圆C 于M ，N 两点（异于Q 点）.当直线QM ，QN 的斜率之和为定值(0)t t ≠时，直线MN 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理.
【答案】（1）2
214
x y +=（2）直线MN 过定点2,1t ??-- ??? 【解析】
【分析】
（1）14PA PB k k ?=-?2214
b a -=-，再由223a b =+，解方程组即可； （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由QM QN k k t +=，得()1212122(1)kx x m x x tx x +-+=，由直线MN 的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，代入计算即可.
【详解】
（1
）由题意知：c =2214
PA PB b k k a ?=-=-，且222a b c =+ 解得2a =，1b =， ∴椭圆方程为2
214
x y +=， （2）当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，
由2244
y kx m x y =+??+=?，得()222148440k x kmx m +++-=. 则122814km x x k -+=+，21224414m x x k
-=+（*） 由QM QN k k t +=， 得1212
11kx m kx m t x x +-+-+=， 整理可得()1212122(1)kx x m x x tx x +-+=
（*）代入得22222
448442(1)141414m km m k m t k k k ----=+++， 整理可得(1)(2)0m k tm t --+=，
又1m ≠
