南海凝心285x y +≤， 所以()()()()2222222222242201155(41)156223x y x y x y x y x xy y x y xy xy x y ++++===+++++++，
令2x y t +=∈，()2223t f t t =+， 所以()()22246
23t f t t -+'=+，
当0t <<()0f t '>t <<()0f t '<
所以当t =
()f t
又()00,31f f ==，
所以()f t 取值范围是(0,]6
，
故答案为： 【点睛】 本题主要考查基本不等式的应用和导数法求最值，还考查了运算求解的能力，属于难题，
15．已知函数2(0)()123(0)
x x f x x x ?≤=?->?，则(2)f -=________；满足()0f x >的x 的取值范围为________. 【答案】
14
(,4)-∞ 【解析】
【分析】
首先由分段函数的解析式代入求值即可得到(2)f -，分0x >和0x ≤两种情况讨论可得；
【详解】 解：因为2(0)()123(0)x x f x x x ?≤=?->?
， 所以21(2)2
4f --==， ∵()0f x >，
∴当0x ≤时，0()21x f x <=≤满足题意，∴0x ≤；
当0x >时，由()1230f x x =->，
解得4x <.综合可知：满足()0f x >的x 的取值范围为(,4)-∞.
故答案为：
14
；(,4)-∞. 【点睛】 本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题.
16．函数()(1)3x f x a =--(1,2)a a >≠过定点________.
【答案】(0,2)-
【解析】
【分析】
令0x =，(0)132f =-=-，与参数无关，即可得到定点.
【详解】
由指数函数的性质，可得0x =，函数值与参数无关，
所有()(1)3x
f x a =--过定点(0,2)-.
故答案为：(0,2)-
【点睛】
此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数X 的分布列为：
其中01a <<，01b <<
（Ⅰ）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；
（Ⅱ）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得利润l00元，若顾客选择分3期付款，则商场获得利润150元，若顾客选择分4期付款，则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为Y （单位：元）
（ⅰ）求Y 的分布列；
（ⅱ）若()3000.8P Y ≤≥，求Y 的数学期望()E Y 的最大值.
【答案】（Ⅰ）0.288（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）数学期望()E Y 的最大值为280
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题意，设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，由独立重复事件的特点得出()3,0.4B η，利用二项分布的概率公式，即可求出结果；
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，Y 的取值为200，250，300，350，400，根据离散型分布求出概率和Y 的分布列；（ⅱ）由题意知0.41a b ++=，()2
3000.160.480.8P Y a ≤=++≥，解得0.6a <，根据Y 的分布列，得出Y 的数学期望()E Y ，结合[)0.4,0.6a ∈，即可算出()E Y 的最大值.
【详解】
解：（Ⅰ）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，则()3,0.4B η
，
则()()223210.40.40.288P C η==?-?=， 故购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，Y 的取值为200，250，300，350，400，
()2000.40.40.16P Y ==?=，()25020.40.8P Y a a ==?=，
()2230020.40.8P Y b a b a ==?+=+，()3502P Y ab ==，()2400P Y b ==
Y ∴的分布列为：
（ⅱ）()()()()()23002002503000.160.8P Y P Y P Y P Y a b a ≤==+=+==+++，
由题意知0.41a b ++=，0.6a b ∴+=，0.6b a ∴=-，
()23000.160.480.8P Y a ≤=++≥，
0.4a ∴≥，又0b >，即0.60a ->，解得0.6a <，
[)0.4,0.6a ∴∈，
()()222000.162500.83000.83502400E Y a b a ab b =?+?+?++?+
320100a =-，
当0.4a =时，()E Y 的最大值为280，
所以Y 的数学期望()E Y 的最大值为280.
【点睛】
本题考查独立重复事件和二项分布的应用，以及离散型分布列和数学期望，考查计算能力.
18．已知函数()21ln 2,R 2?
?=+--∈ ???x a x ax a f x .
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数12,x x ，使得()()123+=-f x f x ，证明：122x x +>.
【答案】（1）当12
a ≤时，()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减； 当112a <<时，()f x 在()0,1上递增，在11,21?? ?-??
a 上递减，在1,21a ??+∞ ?-??上递增； 当1a =时，()f x 在()0,∞+上递增；
当1a >时，()f x 在10,
21?? ?-??a 上递增，在1,121?? ?-??
a 上递减，在()1,+∞上递增； （2）证明见解析
【解析】
【分析】 （1）对()f x 求导，分12a ≤，112
a <<，1a =进行讨论，可得()f x 的单调性； （2）()f x 在定义域内是是增函数，由（1）可知1a =，()21ln 22=+-f x x x x ，设12x x <，可得()()()12321+=-=f x f x f ，则1201x x <<<，设()()()()23,0,1=-++∈g x f x f x x ，对()g x 求导，利用其单调性可证明122x x +>.
【详解】
解：()f x 的定义域为()0,∞+，
因为()21ln 22??=+-- ??
?a x f x x ax ， 所以()()()()()2
121121211212---??--+??=+--=='x a x a x ax a x x x x f a x ， 当12a ≤时，令()00f x x '?>?>?，得01x <<，令()00f x x '??
，得1x >； 当112a <<时，则1121a >-，令()00
f x x '?>?>?，得01x <<，或121>-x a ， 令()00f x x '??，得1121<<-x a ； 当1a =时，()0f x '≥，
当1a >时，则10121<
<-a ，令()00f x x '??，得1121<<-x a ； 综上所述，当12
a ≤时，()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减； 当112a <<时，()f x 在()0,1上递增，在11,21?? ?-??
a 上递减，在1,21a ??+∞ ?-??上递增； 当1a =时，()f x 在()0,∞+上递增；
当1a >时，()f x 在10,21?
? ?-??a 上递增，在1,121?? ?-??
a 上递减，在()1,+∞上递增； （2）()f x 在定义域内是是增函数，由（1）可知1a =，
此时()21ln 22
=+-f x x x x ，设12x x <， 又因为()()()12321+=-=f x f x f ，则1201x x <<<，
设()()()()23,0,1=-++∈g x f x f x x ，则
()()()()()()()223
11212022---'''=--+=-+=>--x x x g x f x f x x x x x 对于任意()0,1x ∈成立， 所以()g x 在()0,1上是增函数，
所以对于()0,1x ?∈，有()()()12130<=+=g x g f ，
即()0,1x ?∈，有()()230-++ 因为101x <<，所以()()11230-++ 即()()212f x f x >-，又()f x 在()0,∞+递增， 所以212x x >-，即122x x +>. 【点睛】 本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性及导数在极值点偏移中的应用，考查学生分类讨论与转化的思想，综合性大，属于难题. 19．如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角∠CAD ＝60°． （1）求BC 的长度； （2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为∠APB ＝α，∠DPC ＝β，问点P 在何处时，α+β最小？ 【答案】（1）3m ；（2）当BP 为202103t =时，α+β取得最小值． 【解析】 【分析】 （1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则CE ＝10，DE ＝10，设BC ＝x ，根据()2tan CAD tan CAE ∠=∠得到232010030x x --=，解得答案. （2）设BP ＝t ，则(1030103CP t t =＜＜，故()210103103200 t tan t t αβ+=-+-，设()2103103200 t f t t t +=-+-，求导得到函数单调性，得到最值. 【详解】 （1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则CE ＝10，DE ＝10，设BC ＝x ， 则()22 20 223100 11tan CAE x tan CAD tan CAE tan CAE x ∠∠=∠===-∠- 232010030x x --=，解之得，103x =3 x =（舍）， （2）设BP ＝t ，则(1030103CP t t =＜＜ ， ()2210103100310310201032001032001103t t t tan t t t t t t αβ+-+===-+--+--- 设()2103103200t f t t t +=-+-，()22203500'103200t t f t t t +-=-+- 令f'（t ）＝0，因为0103t ＜＜202103t = 当()0202103t ∈-，时，f'（t ）＜0，f （t ）是减函数； 当() 202103103t ∈-，时，f'（t ）＞0，f （t ）是增函数， 所以，当202103t =-时，f （t ）取得最小值，即tan （α+β）取得最小值， 因为21032000t t -+-＜恒成立，所以f （t ）＜0， 所以tan （α+β）＜0，2παβπ??+∈ ??? ，， 因为y ＝tanx 在2ππ?? ??? ，上是增函数，所以当202103t =-时，α+β取得最小值． 【点睛】 本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 20．市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）. 已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004. （1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小张该笔贷款的总利息； （2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）； （3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式. 参考数据：2401.004 2.61≈. 【答案】（1）289200元；（2）能够获批；（3）应选择等额本金还款方式 【解析】 【分析】 （1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n 项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息； （2）根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为x 元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断； （3）计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断. 【详解】 （1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为{}n a ， n S 表示数列{}n a 的前n 项和，则14900a =，2402510a =， 则()()1240240240120490025108892002 a a S +==?+=， 故小张该笔贷款的总利息为889200600000289200-=元. （2）设小张每月还款额为x 元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列， 则()()()()223924010.00410.00410.00460000010.004x x x x +++++++=?+， 所以2402401 1.004600000 1.0041 1.004x ??-=? ?-?? ， 即240240600000 1.0040.004600000 2.610.00438911.0041 2.611 x ????=≈≈--， 因为138911000050002
（3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为： 3891240600000933840600000333840?-=-=， 因为333840289200>， 所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式. 【点睛】 本题考查了等差数列与等比数列求和公式的综合应用，数列在实际问题中的应用，理解题意是解决问题的关键，属于中档题. 21．设椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)． （1）当直线l 的倾斜角为45?时，求线段AB 的中点的横坐标； （2）设点A 关于x 轴的对称点为C ，求证：M ，B ，C 三点共线； （3）设过点M 的直线交椭圆于,G H 两点，若椭圆上存在点P ，使得OG OH OP λ+=（其中O 为坐标原 点），求实数λ的取值范围． 【答案】 (1) AB 的中点的横坐标为2 3
