南海凝心湖南省常德市2021届新高考第一次适应性考试数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等差数列{}n a 中，15
10a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（） A ．18
B ．24
C ．36
D ．72 【答案】C
【解析】
【分析】
由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a a S ++=
?=?可得结果. 【详解】
∵等差数列{}n a 中，15
10a a +=，∴3210a =，即35a =， ∴163465766636222
a a a a S +++=?=?=?=， 故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.
2．51(1)x x -
+展开项中的常数项为 A ．1
B ．11
C ．-19
D ．51
【答案】B
【解析】
【分析】
展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.
【详解】
展开式中的项为常数项，有3种情况：
（1）5个括号都出1，即1T =； （2）两个括号出x ，两个括号出1()x
-，一个括号出1，即222
2531()130T C x C x =???-?=；
（3）一个括号出x ，一个括号出1()x
-，三个括号出1，即11541()120T C x C x =???-?=-； 所以展开项中的常数项为1302011T =+-=，故选B.
【点睛】 本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.
3．正四棱锥P ABCD -，侧棱长为
球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．16π
D ．20π 【答案】C
【解析】
【分析】
如图所示，在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，计算长度，设球半径为R ，则()
222PE R BE R -+=，解得2R =，得到答案.
【详解】 如图所示：P 在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上， 223BD AB ==，故132BE BD =
=，223PE PB BE =-=， 设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，故2416S R ππ==.
故选：C .
【点睛】
本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
4．中，如果
，则的形状是（ ） A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形 【答案】B
【解析】
【分析】
化简得lgcosA ＝lg ＝﹣lg2，即，结合， 可求，得代入sinC
＝sinB ，从而可求C ，B ，进而可判断.
【详解】 由，可得lgcosA ＝＝﹣lg2，∴， ∵，∴，，∴sinC ＝sinB ＝＝，∴tanC ＝，C ＝，B ＝.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题．
5．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部
（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ?=，则()2AE AC +的最小值为（ ）
A ．232
B ．12
C ．252
D ．13
【答案】C
【解析】
【分析】
分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ?=，可求1x y +=，而222()(2)(2)AE
AC x y ，化简求解.
【详解】 解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，(0,2)y ∈，则(,)AE x y =，(2,2)AC =，由2AE AC ?=，即222x y +=，得1x y +=.所以2
22()(2)(2)AE AC x y 224()8x y x y 22213x x =21252()22x ，所以当12x =时，2()AE AC 的最小值为252
. 故选：C.
【点睛】
本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.
6．使得()3n x n N x x +?∈ ?的展开式中含有常数项的最小的n 为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】
二项式展开式的通项公式为r -n 3x n r r C （），若展开式中有常数项，则3--=02n r r ，解得5=2n r ，当r 取2时，n 的最小值为5，故选B
【考点定位】本题考查二项式定理的应用．
7．已知函数32,1()ln ,1(1)x x x f x a x x x x ?-+
，若曲线()y f x =上始终存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，且AB 的中点在y 轴上，则正实数a 的取值范围为（ ）
A ．(0,)+∞
B ．10,e ?? ???
C ．1,e ∞??+????
D ．[e,)+∞ 【答案】D
【解析】
【分析】
根据AB 中点在y 轴上，设出,A B 两点的坐标()32,A t t t -+，(,())B t f t ，
（0t >）.对t 分成1,1,1t t t =三类，利用OA OB ⊥则0OA OB ?=，列方程，化简后求得ln t a t =，利用导数求得ln t t
的值域，由此求得a 的取值范围.
【详解】 根据条件可知A ，B 两点的横坐标互为相反数，不妨设()32,A t t t
-+，(,())B t f t ，（0t >），若1t <，则32()f t t t =-+，由OA OB ⊥，所以0OA OB ?=，即()()
232320t t t t t -++-+=，方程无解；若1t =，显然不满足OA OB ⊥；若1t >，则ln ()(1)a t f t t t =
+，由0OA OB ?=，即()232ln 0(1)a t t t t t t -++=+，即ln t a t =，因为()
'2ln 1ln ln t t t t -??= ???，所以函数ln t t 在()0,e 上递减，在()e,+∞上递增，故在e t =处取得极小值也即是最小值
e ln e e =，所以函数ln t y t =在(1)+∞上的值域为[),e +∞，故[e,)a ∈+∞.故选D. 【点睛】
本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.
8．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，
2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）
A ．0,2? ??
B ．0,3? ??
C ．0,5? ??
D ．0,6? ??
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围.
【详解】
()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，
(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，
又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，
()f x ∴为周期为2的偶函数，
当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，
当2
[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--，
当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+，
作出(),()f x g x 图像，如下图所示：
函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，
则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， ()0f x ≤，若1a >，
()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，
所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，
则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，
22113,,01,03a a a a ∴><<<∴<<故选:B.
【点睛】
本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.
9．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}
2B=|y y x x R =-∈，，则A B ?=（ ）
A ．{}|02x x ≤≤
B ．{}2|x x ≤
C ．{}2|0x x -≤≤
D ．? 【答案】C
【解析】 试题分析：化简集合
故选C ．
考点：集合的运算． 10．若()*3n x n N x x ?∈ ?的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则22a a
a x dx --=（ ） A ．36π
B ．812π
C ．252π
D ．25π 【答案】C
【解析】 ()*
3x n n N x x ∈展开式的通项为 ()52133,0,1,,r n r n r r n r r r n n T C x C x r n x x ---+===，因为展开式中含有常数项，所以502
n r -=，即25
r n =为整数，故n 的最小值为1． 所以222252552
a a x dx x dx π--?-=?-=.故选C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.
11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．2或3
B ．2或3
C ．2或3
D ．2或3 【答案】D
【解析】
【分析】
设1PF m =，2PF n =，根据125cos 7PF F ∠=和抛物线性质得出257PF m =，再根据双曲线性质得出7m a =，5n a =，最后根据余弦定理列方程得出a 、c 间的关系，从而可得出离心率．
【详解】
过P 分别向x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M 、N ，不妨设1PF m =，2PF n =，
则121125cos 7
m MF PN PF PF PF F ===∠=， P 为双曲线上的点，则122PF PF a -=，即527m m a -
=，得7m a =，5n a ∴=， 又122F F c =，在12PF F ?中，由余弦定理可得222
5494257272a c a a c
+-=??， 整理得22560c ac a -+=，即2560e e -+=，
1e >，解得2e =或3e =. 故选：D.
【点睛】
本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12．函数()y f x =在区间,22ππ??- ???
上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（ ）
A ．()ln sin f x x =
B ．()()ln cos f x x =
C ．()sin tan f x x =-
D ．()tan cos f x x =-
【答案】B
【解析】
【分析】
根据特殊值及函数的单调性判断即可； 【详解】
解：当0x =时，sin00=，ln sin0无意义，故排除A ； 又cos01=，则(0)tan cos0tan10f =-=-≠，故排除D ；
对于C ，当0,
2x π??∈ ???
时，tan 0x >，所以()sin tan f x x =-不单调，故排除C ； 故选：B
【点睛】
本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q.若APQ ?为直角三角形，则该双曲线的离心率是______.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据APQ ?是等腰直角三角形，且F 为PQ 中点可得AF PF =，再由双曲线的性质可得2
b a
c a +=，解
出e 即得.
【详解】
由题，设点0(),P c y ，由22
221(0,0)x c x y a b a
b =???-=>>??，解得20b y a =±，即线段2b PF a =，APQ ?为直角三角形，2PAQ π
∴∠=，且AP AQ =，又F 为双曲线右焦点，PQ 过点F ，且PQ x ⊥轴，AF PF ∴=，可得2b a c a +=，22
c a a c a
-∴+=，整理得：2220a ac c +-=，即220e e --=，又1e >，2e ∴=. 故答案为：2
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，是常考题型.
14．设,x y 为正实数，若2241x y xy ++=则22
4220115x y x xy y +++的取值范围是__________．
【答案】 【解析】
【分析】 根据2241x y xy ++=，可得2241x y xy =-+，进而()2
2332231212212x y x y xy xy +??++=+≤+ ???=，有()2285
x y +≤，而()()()()2222222222242201155(41)156223x y x y x y x y x xy y x y xy xy x y ++++===+++++++
，令2x y t +=∈，得到()2223t f t t =+，再用导数法求解， 【详解】
因为2241x y xy ++=，
所以2241x y xy =-+，
所以()22332231212212x y x y xy xy +??++=+≤+ ???
=， 所以()2
