晴栀渝菀歌
1 学案21 导数的概念及运算
一、课前准备
【自主梳理】
1．平均变化率：函数()f x 在12[,]x x 上的平均变化率为 ，若21x x x ?=-，
21()()y f x f x ?=-，则平均变化率可表示为 ．
2．导数的概念：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，当x ?无限接近于0时，比值 无
限趋近于一个常数A ，则称()f x 在点0x x =处可导，并称常数A 为函数()f x 在0x x =处的 ，
记作 ．
3．导数的几何意义：函数()f x 在0x 处的导数0()f x '的几何意义就是曲线()y f x =在点 处
的 ．
4．导数的物理意义：一般地，设()s s t =是物体的位移函数，那么'()s t 的物理意义是 ；
设()v v t = 是物体的速度函数，那么'()v t 的物理意义是 ．
5．常见函数的导数：
C '= (C 为常数)；()n x '= ；(sin )x '= ；(cos )x '= ；
()x a '= ；()x e '= ；(log )a x '= ；(ln )x '= ．
6．导数的运算法则：
[()()]f x g x '±= ，[()]Cf x '= (其中C 为常数)；
[()()]f x g x '?= ，()()f x g x '
??=????
()()0g x ≠． 【自我检测】
1．函数()ln f x x =在2e ,e ?? ??的平均变化率为
2．在R 内可导函数()f x 满足(2)3f '=，则k 无限趋近零时，
()()3f x k f x k +-无限趋近于 ． 3．已知()2cos f x x x =，则π3f ??'= ???
．
2 4．函数()2x f x =，则该函数对应曲线在3x =处切线斜率为 ．
5．若物体位移2()32s t t t =-(单位：米)，则当3t =秒时，该物体的速度为 米/秒．
6．函数2log ()x f x x =
，则该函数的导数()f x '= ． 二、课堂活动
【例1】填空题：
(1)若()02f x '=，则当k 趋近于0时，
00()()2f x k f x k
--无限趋近于 ．
(2)汽车作加速直线运动，若t s 时的速度为2()3v t t =+，则汽车开出 s 后加速度为12．
(3)已知()()sin cos 1f x x x =+，则)(x f '= ．
(4)已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '= ．
【例2】(1)用两种方法求函数(21)(3)y x x =-+的导数；
(2)已知函数()f x 的导数是()f x '，求函数[]2()f x 的导数
3
【例3】求下列函数的导数 ⑴2()sin (12cos )24x x f x =--； ⑵2ln ()1x h x x =
+； ⑶()3e 2e t t t s t =-+．
课堂小结
三、课后作业
1．函数2()f x x =在区间[1，3]的平均变化率为 ．
2．自由落体运动的物体位移S (m)与时间t (s)的关系为212S t =，则3t =s 时该物体的瞬时速度为 ．
3．函数2e x y =的导数'y =
4．函数n y mx =的导数为34y x '=，则m = ，n = ．
5．若()cos f x x x =，则π3f ??'= ???
． 6．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x = ．
7．设P 为曲线223C y x x =++：上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是π0,4?? ????
，则点P 横坐标的取值范围为 ．
8．设()2()221f x x f x '=-，则()1f '= ．
