春暖花开三 角 计 算 及 其 12.2.3两角和与差的正弦、余弦、 应 正切的综合应用 用
一、基础知识回顾请同学们回顾前面学习的基本公式: 两角和的余弦公式: cos( ) cos cos sin sin
两角差的余弦公式: cos( ) cos cos sin sin 两角和的正弦公式: sin( ) sin cos cos sin 两角差的正弦公式: sin( ) sin cos cos sin 两角和与差的正切公式: tan tan ( , , k , k Z ) tan( ) 2 1 tan tan tan tan ( , , k , k Z ) tan( ) 2 1 tan tan
二、典型例题剖析2
例1.(1)设 tan ,tan 是方程x 3 3 x 4 0的两根,且 4 , , ,则 + __________; 3 2 3 3 cos15 sin15 1 tan15 =____. = ________. 变式： (2): 3 3 cos15 sin15 1 tan15
1 tan15 tan 45 tan15 分析 : = 1 tan15 1 tan 45 tan15 3 tan 45 15 tan 30 3 注意公式的形式,公式的逆用.
二、典型例题剖析例2.求下列各式的值: (1)sin163 sin 223 sin 253 sin 313 ; (2)tan 70 tan10 3 tan 70 tan10 .
(1)分析:将各式利用诱导公式进行转化,使其 符合两角和与差的正弦或余弦公式的形式.
转化技巧:尽量化为锐角的三角函数.
二、典型例题剖析例2.求下列各式的值: (1)sin163 sin 223 sin 253 sin 313 ;
(1)解:sin163 sin 223 sin 253 sin 313 = sin 180 17 sin 180 43 sin 180 73 sin 360 47 = sin17 - sin 43 - sin 73 - sin 47 43
= sin 73 cos 43 - cos 73 sin 43 = sin 73 43 = sin 30 1 = 2
二、典型例题剖析例2.求下列各式的值: (1)sin163 sin 223 sin 253 sin 313 ;(1)解法二:sin163 sin 223 sin 253 sin 313 = sin17 - sin 43 - sin 73 - sin 47
= cos17 cos 43 - sin17 sin 43 = cos 17 43 = cos 60 1 = 2 方法:观察已知式子的结构特点,逆用两角和与差的 三角函数公式,注意结合诱导公式对各角进行转化.
二、典型例题剖析例2.求下列各式的值: (2)tan 70 tan10 3 tan 70 tan10 .
(2)分析:观察已知式子,注意到tan 70 tan10 tan 70 10 1 tan 70 tan10
从而有tan 70 tan10 tan 70 10 1 tan 70 tan10
二、典型例题剖析例2.求下列各式的值: (2)tan 70 tan10 3 tan 70 tan10 . tan 70 tan10 (2)解:由tan 70
10 1 tan 70 tan10 得 tan 70 tan10 tan 70 10 1 tan 70 tan10
tan 70 tan10 3 tan 70 tan10
tan 70 10 1 tan 70 tan10 3 tan 70 tan10 3 3 tan 70 tan10 3 tan 70 tan10 3
3 评注:本题考查两角和与差的正切公式,重点检查对 公式的变式运用,应深刻加以体会,活学活用好公式.
二、典型例题剖析5 10 例3.已知 sin ,sin ,且 , 0, , 5 10 2 求角 的大小. 5 10 解： sin ,sin , , 且 (0, ) 分析:对于求角的问题可考虑先求该角的某一三角 5 10 2 函数值;由已知条件可求该角的正弦或余弦值. 3 10 2 5 2 cos = 1 sin ,cos = 1 sin 2 5 10 cos( ) cos cos sin sin 2 5 3 10 5 10 = 5 10 5 10 2 = 2 又由已知可得 (0, ), 4
二、典型例题剖析5 10 例3.已知 sin ,sin ,且 , 0, , 5 10 2 求角 的大小.5 10 变式:在 ABC ,已知 sin A ,sin B ,求角C . 5 10 分析 : 由cos C cos ( A B ) cos( A B )
2 及例2.结果可得 cos C , 2 3 又 C (0, ), 4
二、典型例题剖析3 x 1 x x 例4.化简：(1) sin + cos =sin( ) 2 2 2 2 2 6
x x (2) 3 sin + cos 2 2 3 x 1 x 解:(2)原式=2( sin + cos ) 2 2 2 2 x x =2( sin cos cos sin ) 2 6 2 6 x =2sin( ) 2 6
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方法归纳(重点)a sin x b cos x(a , b R, ab 0) a b 2 2 a b 2 sin x cos x 2 2 2 a b a b
平方和等于1 a b sin x cos cos x sin cos sin b 2 2 a b sin x 其中tan a a 2 2 也可化为: a b cos x 其中tan b 2 2
针对性练习： 1. 3 15 sin 2 x 3 5 cos 2 x .
180 6 5 3 1 解:(2)原式 6 ( sin 2 x cos 2 x) 5 2 2 6 5 (sin 2 x cos cos 2 x sin ) 6 6 6 5 sin( 2 x ) 6 3 2.函数 y cos x cos x 的最大值是 _______ . 3
3 15 3 5 2
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三、变式与提升
2 6 变式:已知函数 f ( x ) sin 2 x sin 2 x ,x R. 4 3 4 6 (1)求函数 f ( x )的周期及最大值; (2)函数 f ( x )的图象可由函数 y sin x , x R的图象经过 怎样的平移和伸缩变换得到 ?
2 6 变式:已知函数 f ( x ) sin 2 x sin 2 x ,x R. 4 3 4 6 (1)求函数 f ( x
)的周期及最大值;
2 sin( 2 x 3 )cos 3 cos( 2 x 3 )sin 3 2 2 2 sin( 2 x ) 2 3 周期T= 2 2 2 2 2 sin( 2 x ) 1 sin( 2 x ) 1, - 2 2 3 2 3 2 2 ymax ,ymin . 2 2
2x 6 2x 3 = 2 2 1 3 解 : (1) f ( x ) cos( 2 x ) sin( 2 x ) 2 2 3 2 3
2 6 变式:已知函数 f ( x ) sin 2 x sin 2 x ,x R. 4 3 4 6 (2)函数 f ( x )的图象可由函数 y sin x , x R的图象经过 怎样的平移和伸缩变换得到 ? 2 2 sin( 2 x ) 可将函数y=sinx 解:(2)函数 f ( x ) 2 2 3 图像上所有的点向右平移 个单位长度，得到函数 3 2 2 ) 图象上所 y sin( x )的图象; 再将 y sin( x 3 3 1 有的点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) ,得 2 2 2 到函数 y sin( 2 x ) 的图象; 最后将 y sin( 2 x ) 3 3 2 的图像上所有点的纵坐标缩短为原来 倍(横坐标不 2 变)得到函数 f ( x ) 的图象.
