回忆辉煌
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法直接抛物线解析式；
（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；
（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；
（4）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上， ∴∴
，
，∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，
（2）如图1，令x=0，则y=﹣5，∴C（0，﹣5），∴OC=OB， ∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6，BC=5
，
或
，
要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有①当②当
时，CD=AB=6，∴D（0，1）， 时，∴
，∴CD=
）；
，∴D（0，
），
即：D的坐标为（0，1）或（0，
（3）设H（t，t2﹣4t﹣5），∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为﹣5，
∵E在抛物线上，∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，∴E（4，﹣5），∴CE=4， ∵B（5，0），C（0，﹣5），∴直线BC的解析式为y=x﹣5，∴F（t，t﹣5）， ∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+
，
，
∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，∴S四边形CHEF=CE?HF=﹣2（t﹣）2+当t=时，四边形CHEF的面积最大为
．
（4）如图2，∵K为抛物线的顶点，∴K（2，﹣9）， ∴K关于y轴的对称点K\'（﹣2，﹣9），
∵M（4，m）在抛物线上，∴M（4，﹣5），∴点M关于x轴的对称点M\'（4，5）， ∴直线K\'M\'的解析式为y=x﹣
，∴P（
，0），Q（0，﹣
）．
【提高巩固】
1. （2017黑龙江鹤岗）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y=﹣x+3交于C、D两点．连接BD、AD． （1）求m的值．
（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP=4S△ABD，求点P的坐标．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H5：二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用方程组首先求出点D坐标．由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可；
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+3过（3，0），∴0=﹣9+3m+3，∴m=2
（2）由，得，，∴D（，﹣），
∵S△ABP=4S△ABD，∴AB×|yP|=4×AB×，∴|yP|=9，yP=±9， 当y=9时，﹣x2+2x+3=9，无实数解， 当y=﹣9时，﹣x2+2x+3=﹣9，x1=1+∴P（1+
，﹣9）或P（1﹣
，x2=1﹣
，
，﹣9）．
3．（2017浙江湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F． （1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式；
（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；
（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法，将A，B，C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，易证△ADG～△EBH，根据相似三角形对应边比例相等即可解题； （3）开放性答案，代入法即可解题；
【解答】解：（1）将A、C点带入y=ax2+b1x+c1中，可得：，
解得：，∴抛物线L1解析式为y=；
同理可得：，解得：，
∴抛物线L2解析式为y=；
（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，
由题意得：，解得：，
，
），
∴抛物线L1解析式为y=﹣x2+（m﹣4）x+4m；∴点D坐标为（∴DG=
=
，AG=
；
同理可得：抛物线L2解析式为y=﹣x2+（m+4）x﹣4m； ∴EH=
=
，BH=
，
∵AF⊥BF，DG⊥x轴，EH⊥x轴，∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°， ∵∠DAG+∠ADG=90°，∠DAG+∠EBH=90°，∴∠ADG=∠EBH， ∵在△ADG和△EBH中，
，∴△ADG～△EBH，∴
=
，
∴=，化简得：m2=12，解得：m=±；
（3）存在，例如：a=﹣，﹣；当a=﹣时，代入A，C可以求得： 抛物线L1解析式为y=﹣x2+（m﹣4）x+m；
同理可得：抛物线L2解析式为y=﹣x2+（m+4）x﹣m； ∴点D坐标为（
，
），点E坐标为（
，
）；
∴直线AF斜率为，直线BF斜率为；
若要AF⊥BF，则直线AF，BF斜率乘积为﹣1，
即×=﹣1，化简得：m2=﹣20，无解；
同理可求得a=﹣亦无解．
∴tan∠BOR=tan∠TBK，∴=，∴BR=TK，∵∠CTQ=∠BTK，∴∠QCT=∠TBK，
∴tan∠QCT=tan∠TBK，设ST=TD=m，
∴SK=2m+1，CS=2﹣2m，TK=m+1=BR，SR=3﹣m，RK=2﹣m，
在Rt△SKR中，∵SK2+RK2=SR2，∴（2m+1）2+（2﹣m）2=（3﹣m）2， 解得m1=﹣2（舍去），m2=；∴ST=TD=，TK=， ∴tan∠TBK=
=÷3=，∴tan∠PCD=，
过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′，
∵CF′=OE′=t，∴PF′=t，∴PE′=t+3，∴P（t，﹣∴﹣t﹣3=t2﹣2t﹣3，解得t1=0（舍去），t2=． ∴MN=d=
t=
×=
．
t﹣3），
