回忆辉煌（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．
．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；
（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C， ∴B（3，0），C（0，3），
把B、C坐标代入抛物线解析式可得∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； （2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1）， 设M（2，t），且C（0，3）， ∴MC=
=
，解得，
，MP=|t+1|，PC==2，
∵△CPM为等腰三角形，
∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况， ①当MC=MP时，则有②当MC=PC时，则有此时M（2，7）；
③当MP=PC时，则有|t+1|=2﹣1+2
）或（2，﹣1﹣2
，解得t=﹣1+2）；
）
或t=﹣1﹣2
，此时M（2，
=|t+1|，解得t=，此时M（2，）； =2
，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2或（2，﹣1﹣2
）；
（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，
设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3）， ∵0＜x＜3，
∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，
∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF?OD+EF?BD=EF?OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，
∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，）， 即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大． 变式练习：
（2017毕节）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；
（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标． 【解答】解：
（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c， 把A、B、C三点坐标代入可得∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；
，解得
，
（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，
∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2）， ∴P点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=∴存在满足条件的P点，其坐标为（（3）∵点P在抛物线上， ∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，
（小于0，舍去）或x=
，
，﹣2）；
∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y=x﹣4，∴F（t，t﹣4）， ∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，
∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF?OE+PF?BE=PF?（OE+BE）=PF?OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，
∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4=﹣6， ∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．
类型三：二次函数相似点问题研究
( 2017湖南怀化)如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法直接抛物线解析式；
（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；
（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；
（4）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上， ∴∴
，
，
∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，
（2）如图1，令x=0，则y=﹣5，∴C（0，﹣5），∴OC=OB， ∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6，BC=5
，
或
，
要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有①当②当
时，CD=AB=6，∴D（0，1）， 时，∴
，∴CD=
）；
，∴D（0，
），
即：D的坐标为（0，1）或（0，（3）设H（t，t2﹣4t﹣5），
∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为﹣5，
∵E在抛物线上，∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4， ∴E（4，﹣5），∴CE=4，
∵B（5，0），C（0，﹣5），∴直线BC的解析式为y=x﹣5， ∴F（t，t﹣5），∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+
，
，
∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，∴S四边形CHEF=CE?HF=﹣2（t﹣）2+当t=时，四边形CHEF的面积最大为
