1984年北京市中学生数学竞赛初二年级试题

1984年北京市中学生数学竞赛初二年级试题

一、选择题:

1．在整数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中,质数的个数为x ,偶数的个数为y ,完全平方数的个数为z ,则x+y+z等于（ ）

（A） 14； （B） 13； （C） 12； （D） 11； （E） 10 2．下面是演算的习题:

(1) （a+b） = a + b；(2) (3-π)-| 3-π| = 0；(3) 3?22?1?2； (4) a +(-3) = (a+3)(a+3)，设其中做错的题数为n ,则n =（ ） （A） 4； （B） 3； （C） 2； （D） 1； （E） 0 3．设x?1?2

2 2

2

2

11,y?1?,其中x,y均不为0,那么y =（ ）

xy（A）x-1； （B）1-x； （C）1+x； （D） -x； （E）x

22

4．方程(1984x)-1983?1985x-1=0的较大的根为r ,1983 x-1984x+1=0的较小的根为s,则r-s等于（ ） （A）

1984198519821983；（B）；（C）；（D）；（E）0 19831984198319845．凸n边形的n个内角与某一个外角的总和为1350°,则n等于（ ） （A） 6 （B） 7 （C） 8 （D） 9 （E） 10

二、如图,正ΔABC中,P为AB中点, Q为AC中点,R为BC中点, M为RC上任一点, ΔPMS为正三角形,求证:RM=QS.

ASPQBRMC

2kppk

三、若k为正整数,一元二次方程(k-1)x-px+k=0有两个正整数根,求 k(p+k)之值.

四、平面上有10个点,其中任何两点的距离都不小于1,现将距离恰好等于1的每两点间都连上一条线,试证:这样的线段不会多于30条.

五、任给一个正整数,如248,我们总可以用1984的四个数码经过适当的交换得到一个四位数a3a2a1a0如8194,恰使 7 | (248+8194).

请你证明:对任给的一个自然数N,总存在一个适当交换1984的数码所得到四位数

a3a2a1a0,使得7| (N+a3a2a1a0).