常微分方程数值解法的误差分析

淮北师范大学 2013届学士学位论文

常微分方程数值解法的误差分析

学院、专业 数学科学学院 数学与应用数学 研 究 方 向 计算数学 学 生 姓 名 李 娜 学 号 20091101070 指导教师姓名 陈 昊 指导教师职称 讲 师

年 月 日

常微分方程数值解法的误差分析

李 娜

（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）

摘 要

自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。许多偏微

分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。

关键词： 常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差

Error Analysis of Numerical Method for Solving the

Ordinary Differential Equation

Li Na

(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000)

Abstract

In nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution, there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on. Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential.

Keywords: Ordinary differential equations, numerical solution methods, single step methods, linear multi-step methods, local truncation error

目 录

引 言 .............................................................................................................................. 1 一、常微分方程 .............................................................................................................. 1

1、定义 ..................................................................................................................... 1 2、常微分方程初值问题描述 ................................................................................. 2 3、数值解法的基本思想与途径 ............................................................................. 2 4、数值解的分类 ..................................................................................................... 3 5、问题(1)解的存在惟一性定理 ............................................................................. 4 二、几种常用的数值解法及其误差分析 ...................................................................... 4

1、单步法 ................................................................................................................. 4

(一)、欧拉法 ...................................................................................................... 5 (二)、向后EuIer方法 ....................................................................................... 6 (三)、?-法 ......................................................................................................... 7 (四)、改进欧拉法 .............................................................................................. 7 (五)Runge—Kutta方法 ..................................................................................... 9 2、 线性多步法 ..................................................................................................... 14 总结 ................................................................................................................................ 16 参考文献: ....................................................................................................................... 17

引 言

自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。由于该问题比较复杂且涉及的面广，使得有些问题的解析解很难求出，而对于一些典型的微分方程(如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等)可以运用基本方法求出其解析解，并在理论上可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来。然而，在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，有时即使能求出形式的解，也往往因计算量太大而不实用，而且高次代数方程求根也并不容易，所以用求解析解的方法来计算微分方程的数值解往往是不适宜的。从实际意义来讲我们更关心的是某些特定的自变量在某一个定义范围内的一系列离散点上的近似值。本文研究的主要是针对常微分方程各种数值解法的误差进行分析。

一、常微分方程

1、定义

首先，我们在这部分给出所需的一些基本概念和基本知识。

我们已经知道微分方程就是联系着自变量、未知函数以及其导数的关系式。如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程。

方程

d2ydy ?b?cy?f?t? 2dtdtdy?dy??t?y?0 ??dt?dt?2就是常微分方程的例子，这里y是未知函数，t是自变量。

微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。

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