南宫莫尘
20．（12分）椭圆的中心为原点O，离心率e? （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
?，一条准线的方程为x???． ?uuuruuuruuur （Ⅱ）设动点P满足：OP?OM??ON，其中M,N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为??，问：是否存在两个定点F?,F?，使得PF??PF?为定值？?若存在，求F?,F?的坐标；若不存在，说明理由．
21．（12分）
设实数数列{an}的前n项和Sn，满足Sn?1?an?1Sn(n?N)
（I）若a1,S2?2a求S2和a3； （II）求证：对k?3有0?ak?1?ak?2成等比数列，
*4 3
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分. 1—5 CADBD 6—10 ACBCD
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分25分. 11．74 12．3 13．三、解答题：满分75分. 16．（本题13分）
解：f(x)?asinxcosx?cosx?sinx ?221411 14．? 15．6?1
232asin2x?cos2x. 23a1????1,解得a?23. 222由f(??3)?f(0)得?因此f(x)?当x?[3sin2x?cos2x?2sin(2x?).
6?,]时,2x??[,],f(x)为增函数， 43632?11???3?当x?[,]时,2x??[,],f(x)为减函数，
324624?11??所以f(x)在[,]上的最大值为f()?2.
443?11?又因为f()?3,f()?2,
424?11?11?故f(x)在[,]上的最小值为f()?2.
4242417．（本题13分）
解：这是等可能性事件的概率计算问题.
（I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式C4?2种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为
22?????2C4?228?. 4273解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“申请A片区房源”为事件A，则P(A)?1. 3从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为
821222P4(2)?C4()()?.
3327 （II）ξ的所有可能值为1，2，3.又
31?,4273 1322C32(C2C4?C4C2)14C32(24?2)14P(??2)??(或P(??2)??)44272733P(??1)?12123C3C4C24C4A34P(??3)??(或P(??3)??).
993434综上知，ξ有分布列 ξ P 从而有
1 2 3 1144 27279E??1?114465?2??3??. 272792732218．（本题13分）
解：（I）因f(x)?x?ax?bx?1,故f?(x)?3x?2ax?b. 令x?1,得f?(1)?3?2a?b,
由已知f?(1)?2a,因此3?2a?b?2a,解得b??3. 又令x?2,得f?(2)?12?4a?b,由已知f?(2)??b, 因此12?4a?b??b,解得a??.
32325x?3x?1,从而f(1)?? 223又因为f?(1)?2?(?)??3,故曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
25y?(?)??3(x?1),即6x?2y?1?0.
2因此f(x)?x?3 （II）由（I）知g(x)?(3x?3x?3)e，
从而有g?(x)?(?3x?9x)e.
令g?(x)?0,得?3x?9x?0,解得x1?0,x2?3. 当x?(??,0)时,g?(x)?0,故g(x)在(??,0)上为减函数； 当x?(0,3)时,g?(x)?0,故g(x)在（0，3）上为增函数； 当x?(3,??)时，g?(x)?0,故g(x)在(3,??)上为减函数；
从而函数g(x)在x1?0处取得极小值g(0)??3,在x2?3处取得极大值g(3)?15e. 19．（本题12分）
（I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC.
故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC， 即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，
且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=3. 在Rt△ABC中，因AC=2AF=23，AB=2BC，
?322?x2?x由勾股定理易知BC?故四面体ABCD的体积
215415,AB?. 551114152154V??S?ABC?DF?????.
332555 （II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG//AD，GH//BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.
设E为边AB的中点，则EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC， 故由三垂线定理知DE⊥AB.
所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60°
设AD?a,则DF?AD?sinCAD?a. 2a33??a, 236在Rt?DEF中,EF?DF?cotDEF?从而GH?13BC?EF?a. 26因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，FH?1aBD?， 22又FG?1aAD?,从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得 22FG2?GH2?FH2GH3cosFGH???
2FG?GH2FG6因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为
3. 6解法二：如答（19）图2，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，
平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz.
不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分别为
A(0,?3,0),C(0,3,0),D(0,0,1), ????则AD?(0,3,1).显然向量k?(0,0,1)是平面ABC的法向量. 已知二面角C—AB—D为60°，
故可取平面ABD的单位法向量n?(l,m,n)， 使得?n,k??60,从而n??1. 2????3由n?AD,有3m?n?0,从而m??.6由l2?m2?n2?1,得l??6.3
????????????设点B的坐标为B(x,y,0);由AB?BC,n?AB,取l?6，有 3?46?x2?y2?3,x?,x?0,????9?解之得,?(舍去) ?6?3x?(y?3)?0,?y??3??y?73,?6?3?9?易知l??6与坐标系的建立方式不合，舍去. 3????46734623,?,0). ,,0).所以CB?(因此点B的坐标为B(9999从而
