紫陌才韵
《二元一次方程组》知识点及典例分析
一、知识点总结
1、二元一次方程：
含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax?by?c(a?0,b?0). 2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】 3、二元一次方程组：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组. 4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一
?x?y?1?x?y?1??x?y?6?2x?2y?6；?次方程组的解.【二元一次方程组解的情况：①无解，例如：，
二、典型例题分析
例1、若方程x
例2、将方程10?2(3?y)?3(2?x)变形，用含有x的代数式表示y.
例3、方程x?3y?10在正整数范围内有哪几组解？
x?2是方程组?2x?3m?1的解，求m、n的值. 例4、若????nx?my??5?y?32m?1?5y3n?2?7是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值.
?x?y?1?x?y?1??2x?y?2?②有且只有一组解，例如：；③有无数组解，例如：?2x?2y?2】
5、二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法。
6、三元一次方程组及其解法：方程组中一共含有三个未知数，含未知数的项的
次数都是1，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。解三元一次方程组的关键也是“消元”：三元→二元→一元 7、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步： （1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，； （2）设：找出能够表示题意两个相等关系；并用字母表示其中的两个未知数 （3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； （4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值； （5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.
1
例5、已知(m?1)x?(n?1)y
nm?1是关于x、y的二元一次方程，求nm的值.
?4x?3y?7例6、二元一次方程组?的解x，y的值相等，求k．
?kx?(k?1)y?3
(3)、解复杂的二元一次方程组
例7：（1）用代入消元法解方程组：
??7x?5y?3?2x?y??4
（2）、用加减法解二元一次方程组：
?4x?3y?0 ??12x?3y?8
??x?5y?6?3x?6y?4?0
??3x?2y?7?2x?3y?9
．
（提高题）例8、若关于X,y的二元一次方程组x+y=5k,x-y=9k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，求k的值。
三、跟踪训练
知识点1:二元一次方程及其解
1、下列各式是二元一次方程的是（ ）.
A.6x?y?7 B.x?1?0 C.4x?xy?5 D.5yx2?x?1?0
2
2、若??x?3是关于x、y的二元一次方程3x?ay?0的一个（组）解，则a的值?y?2A. a=6,b=-1 B.a?2,b?1 C.a=3,b=-2 D.a?2b,?? 2为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 6 3、二元一次方程x?2y?7在正整数范围内的解有（ ）.
?x?4?x?14、写出一个以 ?为解的二元一次方程组 ；写出以?为解
y??2y?2??的一个二元一次方程 .
A.无数个 B.两个 C.三个 D.四个
4、已知在方程3x?5y?2中，若用含有x的代数式表示y，则y? ，用含有y的代数式表示x，则x? 。 5、若m?n?5，则15?m?n? 。 知识点2：二元一次方程组及其解
6、如果4x?5y?0,且x?0,那么5、已知??x?2?ax?by?7是二元一次方程组?的解，则a?b的值为 。
?y?1?ax?by?112x?5y的值是 .
12x?5y?x?3y?0 ?x?3y?0 ?m?5 ?x?11、有下列方程组：（1）（2）（3）（4）?????4x?3y?0?4xy?9?n??2?4x?2y?6其中说法正确的是（ ）
7、若3x2a?b?1y与5xya?2b?1是同类项，则b?a? 知识点3 二元一次方程组的解法
?xy?2x?3y?11??8、选择适当的方法解方程组 ?2x?1?y
?A.只有（１）、（3）是二元一次方程组 B.只有（３）、（４）是二元一次方程组 C.只有（４）是二元一次方程组 D.只有（２）不是二元一次方程组
?x?y?32、下列哪组数是二元一次方程组?的解（ ）
?2x?4x?3?x?1 C.?x?5 D.?x?2 A.?B. ?????y?0?y?2?y??2?y?1?23??3x?4y?18?x?y?8??5x?2(x?y)??1?ax?y?13、若方程组?有无数组解，则a、b的值分别为（ ）
?6x?by?2
3
3x?5y?m?2的解满足x?y??10,求式（提高题）1、已知关于x,y的方程组???2x?3y?m A．??x?3?y?2?x??3B.??y?4?x?3C.??y??2?x??3 D.??y??2子m?2m?1的值.
2、小花在家做家庭作业时，发现练习册上一道解方程组的题目被墨水污染
25、方程组??3x?2y?7,的解是（ ）
?4x?y?13.A、??x??1,?x?3,?x??3,?x??1, B、? C、? D、?
?y?3;?y??1;?y??1;?y??3.?ax?by?1,?x?1,6、设方程组?的解是?那么a,b的值分别为（ ）
??a?3x?3by?4.y??1.??A、?2,3; B、3,?2; C、2,?3; D、?3,2.
7．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，?则下
面所列的方程组中符合题意的有（ ）
A．???3x?2y?()，（ ）表示被污染的内容，她着急地翻开书后面的答案，这道???5x?y?()?x?2题目的解是?，聪明的你能够帮她补上（ ）的内容吗？
?y??1
?x?y?246?2y?x?2?x?y?246B.??2x?y?2?x?y?216C.??y?2x?2?x?y?246 D.??2y?x?2七年级数学测试题
一、选择题：（每题3分，共33分）
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．
二、填空题（每题3分，共33分）
－－
1．若x3m3－2yn1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______． 2．若（3x-2y+1）+3x?3y?3=0，则x=______，y=______. 3．已知?2
1y?2+4y=6 D．4x= x4?x?2?mx?y?3的解，则m=_______，n=______． 是方程组??y??1?x?ny?64、如果(a?2)x|a|?1?3?6是关于x的一元一次方程，那么
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A．??x?y?4?2x?3y?7?2a?3b?11B.??5b?4c?6?x?9C.??y?2x2?x?y?8D.?2 ?x?y?4?a2?1= 。 a3．二元一次方程5a－11b=21 （ ）
A．有且只有一解 B．有无数解 C．无解 D．有且只有两解 4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（ ）
4
5、班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，若设男生人数为x人，女生人数为y人，则可列方程组为 6、如果2xb?5y2a与?4x2ay2?4b是同类项，那么 a= ，b= 。
三、用适当的方法解下列方程
?4m?2n?5?0 ?3n?4m?6?
1?1x?y?1??23 ???1x?y?2?3?3五、某工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批原料运回
工厂，制成新产品再运到B地,公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1元/（吨·千米），A地到工厂有公路20千米，铁路150千米；从工厂到B地有公路30千米，铁路120千米。若这两次运输共支出公路运费6600元，铁路运费24600元，原料费为每吨1000元，新产品每吨2000元，则该工厂这批产品获得利润多少元？
y?x??9?3x?5y?19??2? ?
xy8x?3y?67????6??32
四、（本题6分）某厂买进甲、乙两种材料共56吨，用去9860元。若甲种材料每
吨190元，乙种材料每吨160元，则两种材料各买多少吨？
5
