逍遥自在唯我独解决力学和物理问题的方法 :1 解析方法 精确解；2 数值分析方法 近似解； 直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。例:有限差分法
首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后据此建立近似解法。例:有限元方法
相对于第一种数值方法而言，第二种具有如下优点： 1．物理概念清楚
2. 灵活性和通用性（复杂的几何形状，任意边界，不均匀的材料特性等） 什么是有限元？
——求解偏微分方程的一种数值方法。
将连续的求解区域离散为一组有限个、并且按照一定方式连接在一起的单元的组合体。 利用在每一个单元内假定的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数，近似函数一般为未知场函数或及其导数在单元的各个节点的数值的和其差值函数。 一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
有限元法在岩土工程中的应用：岩土工程建设至今还不能脱离经验，但岩土力学的长足进展已使许多工程的设计逐渐摆脱完全依赖经验或半经验的状况，数值计算在未来的岩土工程设计中将会占据越来越重要的位置。
在岩土力学研究中，计算也已成为和实验一样不可或缺的手段。在某些特殊情况下数值模拟甚至可以代替实验。 “精确定性、粗略定量”
方程建立的条件（弹性体的基本假定）：
（1）物体内的物质连续性假定。物质中没有空隙，可以采用连续函数描述。 （2）物体内的物质均匀性假定。物体内各个位置的物质具有相同特性。
（3）物体内的物质（力学）特性各向同性假定。同一位置的物质在各个方向上具有相同性质。
（4）线弹性假定。变形与外力的关系使线性的，外力去除后物体可以恢复原状。 （5）小变形假定。变形远小于物体的几何尺寸，建立方程时可以忽略高阶小量。 平面应变与平面应力的比较：
加权残值法与虚功原理比较：相同点：在试函数的范围内寻找最好的解。不同点
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加权残值法：认为试函数满足??wjTRd??0 就是最好的解。虚功原理：认为试函数满足虚
功原理就是最好的解
加权残值法、虚功原理、最小势能原理和变分法之间的关系： 区别：
（1）变分法：纯数学的角度，用方程、泛函、极值等术语表达，没有考虑背后的物理意义 （2）最小势能原理、虚功原理：物理提法，有相应的物理量表达和物理意义 （3）加权残值法：一种数学提法，基于试函数求取对原始方程的最佳逼进 联系：
互相关联，从某种意义上讲可以互相转换
（1）变分法泛函极值的表达式若给予相应的物理含义→ → 最小势能原理 （2）最小势能原理中，直接令δΠ=0 → → 虚功原理
（3）最小势能原理证明中，把 看成权函数，可以看成加权残值意义下对平衡方程和边界条件的逼进
?id?????ijnj?pi?δu?idA?0δ?????ij,j?biδu ?Sp总结：几种求解方法本质上是相同的，可以说是变分法的几种形式，但又各有特点 到此总结了刘伟华老师第三讲 讨论1：平面于该单元的节点位移是以整体坐标系中的x方向位移和y方向位移来定义，所以没有坐标变换问题。
讨论2：平面3节点三角形单元的几何函数矩阵和应力函数矩阵为常系数矩阵 单元位移场为线性关系，由此3节点三角形单元的节点位移和坐标变换
由求出的[B]、[S]为常系数矩阵，与坐标位置无关，所以单元内任意一点的应力应变都相同。这种3节点三角形单元称为常应变单元。在应力梯度较大的部位，单元划分应该适当加密，否则不能反映应变的真是变化而导致较大误差。 讨论1：平面4节点矩形单元的几何形状坐标变换
由于该单元的节点位移是以整体坐标系中的x方向位移和y方向位移来定义，所以没有节点位移的坐标变换问题。
实际上许多实际问题不能用规则的4节点矩形单元来划分网格，要采用任意四边形单元，此时需要几何形状上的坐标变换，即等参元变换。 讨论2：4节点矩形单元的应变和应力为一次线性变化
在单元边界上，位移线性变化，且相邻单元公共节点上有共同的节点位移值，可以保证两个相邻单元在其公共边界上位移的连续性，这种单元的位移模式是完备的和协调的，它的应变和应力是一次线性变化的，因而比三节点常应变单元的精度高。 罚函数法的特点：
既可以处理零位移边界条件又可以处理给定具体数值的边界条件 即可以求节点位移也可以求节点力
保持求解矩阵的规模不变，不需要重新排序
保持整体刚度矩阵的对称性，便于计算机规范处理
岩土工程中常用的材料本构模型:
Tresca 模型(相关塑性流模型), 屈服面为六棱柱，脆性材料比von Mises 准则更适合不排水粘土的应用，因为根据von Mises 准
?iδu??则，材料破坏时只需要满足
?1??32?cu
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Tresca破坏准则可由Mohr-Coulomb破坏准则导出：Ft??cos?3?cu?J2cos??cu
von Mises 模型(相关塑性流模型)：屈服面为圆柱面，适用于金属。
Mohr-Coulomb模型(既具有相关塑性流，也具有非相关塑流)：屈服面为六棱锥，砂土等材料非相关塑性流可以模拟砂土的剪胀性。
Drucker-Prager模型(既具有相关塑性流，也具有非相关塑性流)：屈服面为圆锥面，岩石、泡沫、聚合物等材料。
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(2) 经典弹塑性材料 (a) Tresca 模型 (b) von Mises 模型
(c) Mohr-Coulomb 模型 (d) Drucker-Prager 模型 之间的联系？
Mohr-Coulomb 模型Tresca 模型 Drucker-Prager 模型von Mises 模型
Mohr-Coulomb 模型Drucker-Prager 模型 Tresca 模型von Mises 模型
3.1 工程中常用的非线性迭代方法
Newton-Raphson 迭代的理论基础—泰勒(Taylor)级数展开： (2) 修正牛顿-拉弗森(Modified Newton-Raphson, MNR) 迭代：
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波前求解：的基本思想是边组装单元刚度矩阵，边进行消去。而传统的直接求解法是在总刚完全形成后，才进行消去。
什么样的三维问题适合用波前(Frontal)直接求解器来求解？
狭长的三维问题,可使用单元重编号算法来减小最大波前带宽， 加速波前求解法的求解。 波前求解法的具体计算过程如下：
第(1) 步: 标记最后出现节点和分配波前矩阵 第(2) 步: 进行单元刚度矩阵的组装和消去
迭代求解法 直接求解法内存需求大，浮点运算次数为(2/3)n3级次。
? Krylov子空间迭代法中的共轭剃度法，浮点运算量大约为fnr log? (对于三维问题r = 4/3，而对于二维问题，r = 3/2)。这里，f 表示稀疏矩阵中每行非零元素的平均数，?? 为误差缩减因子。
迭代求解法通常更适合三维大型问题，适合块体有限元模拟。对于中小型问题，建议仍使用直接求解法。目前，常见的迭代法有Krylov子空间迭代法，主要包括针对对称系数矩阵的PCG，SQMR法，和对于非对称矩阵的BICGSTAB，QMR，GMRES等方法。 (a) ABAQUS
影响迭代求解法收敛的主要因素：
ABAQUS 软件中配备了线性迭代求解器，可以求解线性和非线性稳态热 传导问题。迭代求解器主要用来求解大型，条件数较好的问题。对于其它情况， 直接稀疏求解器更加适合。对于病态线性方程组，迭代求解器通常收敛较慢或甚 至不收敛。例如，模型中的材料性质差别显著；模型中许多单元的长细比较差。 影响迭代求解器性能的最基本的模型因素就是模型的几何形状。因此，在选
择迭代求解器时应该考虑模型的几何形状是否合适。通常，具有块体形状的模型 ，由实体单元为主的模型比较适合使用迭代求解方法。而具有结构单元（如，细 长的梁板等结构）的模型就不太适合使用迭代求解器，应该选用直接求解法。如 果模型中含有特殊的单元类型（如弹簧单元等），就应该慎重使用迭代求解方法 ，因为这些单元的刚度与模型中实体单元的刚度差别显著。有一些建模技术甚至 不能够使用迭代求解器，如在实体单元表面镀一薄层膜单元来恢复边界精确的应 力或用弱弹簧来约束刚体的运动等，因为这些问题都会引起迭代求解器收敛慢或 不收敛。
非线性迭代法与线性迭代法：
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对于非线性问题，迭代求解器也可以用来求解每一个Newton非线性迭代步中 产生的线性方程组。然而，非线性问题的收敛也直接受线性迭代求解器收敛情况 的影响。具体程度取决于具体模型和非线性的类型。对于一些情况，线性迭代求 解器的默认收敛容忍度10-6足够满足Newton非线性迭代的收敛；对于另一些情况 ，需要使用更小的容忍度，如10-8。
如果一使用线性迭代求解器的非线性分析不能收敛，通常很难确定引起不收 敛的是线性迭代求解器的近似解不够精确，还是由于非线性迭代本身不收敛。通 常可以采用直接线性求解法来诊断不收敛的原因，如果采用了直接求解器，可以 消除不收敛问题，则说明前面的线性迭代求解器的近似解不够精确；如果即使采 用了直接求解器，不收敛问题还是没有消除，则说明可能是非线性迭代本身就不 收敛。需要强调的是，线性方程组解的精度对Newton等非线性迭代方法有明显的 影响。对于一些问题，需要减小误差容忍度来获得较精确的解，也可以使Newton 等非线性迭代法收敛更快。
影响迭代求解器收敛速度的因素：
单元的质量，块体模型也会含有很多长细比较差的单元，从而导致迭代求解器收敛缓慢。当评价跌迭代求解器的性能时，查看关于单元质量的警告信息是个不错的做法。
对于接触问题，迭代求解器通常将所有接触面及其围绕的单元设为一个域。因此，对于具有较大接触面的的模型，迭代求解器的性能表现不是很好。 思考：
为什么使用了五面体单元，而不是六 面体单元？
（1）精度问题；
（2）前处理的方便性； 太沙基一维固结理论：
数学模型：基本假设 ① 土层均质且饱和;
② 土颗粒和孔隙水本身不可压缩;
③ 压缩是单向压缩(水的渗流也是单方向的); ④ 荷载一次均布施加——即假设?z = 常数； ⑤ 渗流遵循Darcy定律，并且假设渗透系数为常数; ⑥ 压缩系数为常数； 土骨架的体积变化 ＝孔隙体积的变化 ＝流出的水量
基于有限元力场的极限平衡法，强度折减法 有限元强度折减法存在的问题，例如:
(1) 模型的局限（摩尔-库伦或Drucker-Prager）； (2) 计算量较大（可以算局限也可以不算）；
(3) 剪胀角的局限（通常把剪胀角近似为零，因为这样 做被认为是保守的）
(4) 不能够得到每个边坡完整的安全系数演化曲线。 *initial conditions, type=field, VARIABLE=1 Set-EntireSlope,0.5 *Field, VARIABLE=1 Set-EntireSlope,3.
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