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2016年初中数学中考一轮复习 第19课 尺规作图 导学案
【考点梳理】：
一、理解“尺规作图”的含义
思考与收获 1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的． 2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.2-1-c-n-j-y21教育网 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言
1.用直尺作图的几何语言：
①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连结两点××；或连结××；
③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；
2.用圆规作图的几何语言： ①在××上截取××＝××；
②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）； ③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；
④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× .
三、了解尺规作图题的一般步骤
尺规作图题的步骤：
1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； 2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；
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3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.2·1·c·n·j·ywww.21-cn-jy.com
在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，思考与收获 而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.21世纪教育网版权所有
四、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 五、五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 【思想方法】 方程思想，分类讨论 【考点一】：作图—基本作图
【例题赏析】（2015?山东潍坊第9 题3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：【来源：21·世纪·教育·网】
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N； 第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F； 第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
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考点：平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．.
分析：根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比
思考与收获 例定理得出
=
，代入求出即可．21·世纪*教育网
解答：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线， ∴AE=DE，AF=DF， ∴∠EAD=∠EDA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠EDA=∠CAD， ∴DE∥AC， 同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形， ∴AE=DE=DF=AF， ∵AF=4，
∴AE=DE=DF=AF=4， ∵DE∥AC， ∴
=
，
∵BD=6，AE=4，CD=3， ∴=
，
∴BE=8， 故选D．
点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．21教育网21*cnjy*com
【考点二】：利用轴对称设计图案
【例题赏析】（2014?浙江金华，第19题，6分）在棋盘中建立如图的直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0）．
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（1）如图2，添加棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；
（2）在其他格点位置添加一颗棋子P，使A，O，B，P四颗棋子成为一个轴对称图形，请直思考与收获 接写出棋子P的位置的坐标．（写出2个即可）【来源：21cnj*y.co*m】
考点：利用轴对称设计图案；坐标与图形性质．
分析：（1）根据A，B，O，C的位置，结合轴对称图形的性质进而画出对称轴即可； （2）利用轴对称图形的性质得出P点位置． 解答：（1）如图2所示：直线l即为所求；
（2）如图1所示：P（0，﹣1），P′（﹣1，﹣1）都符合题意．
点评：此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．
【考点三】：线段的基本概念
【例题赏析】（2015?北京市,第16题，3分）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段AB． 全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com
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小芸的作法如下： 如图， （1）分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点； （2）作直线CD 老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是_________________________． 【考点】点、线 【难度】容易
【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两个点确定一条直线。 【点评】本题考查线段的基本概念。
【考点四】：尺规作图题
【例题赏析】（2015?浙江杭州,第21题10分）
“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度www.21-cn-jy.com
（1）用记号(a，b，c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形
（2）用直尺和圆规作出三边满足a 思考与收获 全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com 单位长度 【答案】解：（1）（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）.【出处：21教育名师】 （2）由（1）可知，只有（2，3，4），即a?2, b?3, c?4时满足a 思考与收获 【考点】三角形三边关系；列举法的应用；尺规作图. 【分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形. （2）首先判断满足条件的三角形只有一个：a?2, b?3, c?4，再作图： ①作射线AB，且取AB=4； ②以点A为圆心，3为半径画弧；以点B为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C； ③连接AC、BC. 则?ABC即为满足条件的三角形. 【考点五】：作图—复杂作图 【例题赏析】（2014?六盘水，第21题8分）如图，在△ABC中，利用尺规作图，画出△ABC的外接圆或内切圆（任选一个．不写作法，必须保留作图痕迹）21cnjy.com 全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com 考点：作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心． 分析：分别利用三角形外心的确定方法以及内心的确定方法得出圆心位置，进而得出即可 思考与收获 解答：如图所示： 点评：此题主要考查了复杂作图，正确把握三角形内心和外心位置确定方法是解题关键． 【考点六】：作图—复杂作图 【例题赏析】（2015?广东梅州,第21题9分）如图，已知△ABC，按如下步骤作图： ①以A为圆心，AB长为半径画弧； ②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D； ③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD． （1）求证：△ABC≌△ADC； （2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长． 考点：全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图． 分析：（1）利用SSS定理证得结论； 全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com （2）设BE=x，利用特殊角的三角函数易得AE的长，由∠BCA=45°易得CE=BE=x，解得x，得CE的长．www-2-1-cnjy-com21·cn·jy·com 解答：（1）证明：在△ABC与△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）； （2）解：设BE=x， ∵∠BAC=30°， ∴∠ABE=60°， ∴AE=tan60°?x=∵△ABC≌△ADC， ∴CB=CD，∠BCA=∠DCA， ∵∠BCA=45°， ∴∠BCA=∠DCA=90°， ∴∠CBD=∠CDB=45°， ∴CE=BE=x， ∴ x+x=4， ﹣2， ﹣2． x， 思考与收获 ∴x=2∴BE=2 点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，特殊角的三角函数，利用方程思想，综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键．2-1-c-n-j-y 【考点七】：作图—应用与设计作图； 【例题赏析】（2015?广东佛山,第18题6分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．（保留作图痕迹，不写作法） 21*cnjy*com 全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com 考点：作图—应用与设计作图；全等三角形的判定；等腰三角形的性质．21世纪教育网 专题：作图题． 分析：作出底边BC的垂直平分线，交BC于点D，利用三线合一得到D为BC的中点，可得出三角形ADB与三角形ADC全等．【来源：21cnj*y.co*m】 解答：作出BC的垂直平分线，交BC于点D， ∵AB=AC， ∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD， 在△ABD和△ACD中， 思考与收获 ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）． 点评：此题考查了作图﹣应用于设计作图，全等三角形的判定，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．21世纪教育网版权所有【出处：21教育名师】 【真题专练】 1. （2015?甘肃武威,第21题6分）如图，已知在△ABC中，∠A=90° （1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）． 21*cnjy*com【版权所有：21教育】 （2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积． 全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com
