离人怎挽2
线AB与x轴的距离是m（m＞0）． （1）求抛物线C1的解析式的一般形式； （2）当m=2时，求h的值；
（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．
考点： 二次函数综合题． 专题： 代数几何综合题；压轴题． 分析： 2（1）设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1），（a≠0），然后把点（0，）代入求出a的值，再化为一般形式即可； （2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可； 2（3）先把直线AB与x轴的距离是m代入抛物线C1的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证． 解答： （1）解：设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0）， ∵抛物线过点（0，）， ∴a（0﹣1）=， 解得a=， ∴抛物线C1的解析式为y=（x﹣1）， 一般形式为y=x﹣x+； （2）解：当m=2时，m=4， ∵BC∥x轴， ∴点B、C的纵坐标为4， ∴（x﹣1）=4， 解得x1=5，x2=﹣3， ∴点B（﹣3，4），C（5，4）， ∵点A、C关于y轴对称， ∴点A的坐标为（﹣5，4）， 设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）﹣h， 222222则（﹣5﹣1）﹣h=4， 解得h=5； （3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m， 2∴点B、C的纵坐标为m， ∴（x﹣1）=m， 解得x1=1+2m，x2=1﹣2m， 2∴点C的坐标为（1+2m，m）， 又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1， ∴CE=1+2m﹣1=2m， ∵点A、C关于y轴对称， 2∴点A的坐标为（﹣1﹣2m，m）， ∴AE=ED=1﹣（﹣1﹣2m）=2+2m， 设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）﹣h， 则（﹣1﹣2m﹣1）﹣h=m， 解得h=2m+1， 22∴EF=h+m=m+2m+1， ∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=﹣=﹣=﹣=， 2222222∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=． 点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于y轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用m表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点． 3．（2013?舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）﹣m+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴． （1）当m=2时，求点B的坐标； （2）求DE的长？
（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？
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考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题；数形结合． 分析： （1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标； （2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4； （3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=﹣m+m+4，将m=代入y=﹣m+m+4，即可求出二次函数的表达式； ②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答． 解答： 解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）+1， 把x=0代入y=（x﹣2）+1，得：y=2， ∴点B的坐标为（0，2）． （2）延长EA，交y轴于点F， ∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE， ∴△AFC≌△AED， ∴AF=AE， ∵点A（m，﹣m+m），点B（0，m）， ∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m+m）=m， ∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°， ∴△ABF∽△DAE， ∴=，即：=， 2222222∴DE=4． （3）①∵点A的坐标为（m，﹣m+m）， ∴点D的坐标为（2m，﹣m+m+4）， ∴x=2m，y=﹣m+m+4， ∴y=﹣?++4， x+x+4， 2222∴所求函数的解析式为：y=﹣②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF， （Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1）， 点P的横坐标为3m， 点P的纵坐标为：（﹣m+m+4）﹣（m）=﹣m+m+4， 把P（3m，﹣m+m+4）的坐标代入y=﹣﹣m+m+4=﹣22222x+x+4得： 2×（3m）+×（3m）+4， 2解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8． （Ⅱ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2）， 点P的横坐标为m， 点P的纵坐标为：（﹣m+m+4）+（m）=m+4， 把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣m+4=﹣m+m+4， 222x+x+4得： 2解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8， 综上所述：m的值为8或﹣8． 点评： 本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论． 4．（2013?重庆）如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
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考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标； （2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标； ②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为2（x，x+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值． 2解答： 解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点， ∴A、B两点关于直线x=﹣1对称， ∵点A的坐标为（﹣3，0）， ∴点B的坐标为（1，0）； 2（2）①a=1时，∵抛物线y=x+bx+c的对称轴为直线x=﹣1， ∴=﹣1，解得b=2． 222将B（1，0）代入y=x+2x+c， 得1+2+c=0，解得c=﹣3． 2则二次函数的解析式为y=x+2x﹣3， ∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3． 2设P点坐标为（x，x+2x﹣3）， ∵S△POC=4S△BOC， ∴×3×|x|=4××3×1， ∴|x|=4，x=±4． 当x=4时，x+2x﹣3=16+8﹣3=21； 2当x=﹣4时，x+2x﹣3=16﹣8﹣3=5． 所以点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）； ②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入， 得，解得， 2即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3． 2设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x+2x﹣3）， QD=（﹣x﹣3）﹣（x+2x﹣3）=﹣x﹣3x=﹣（x+）+， 222
