酒话醉人心
5．（宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切，D为切点，且MN∥AB，MN＝a，ON、CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．
6．（四川省）已知，如图，以△ABC的边AB作直径的⊙O，分别并AC、BC于点D、E，弦FG∥AB，S△CDE︰S△
1，PC2ABC＝1︰4，DE＝5cm，FG＝8cm，求梯形AFGB的面积．
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7．（贵阳市）如图所示：PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，
PA＝10，PB＝5，求：
（1）⊙O的面积（注：用含π的式子表示）； （2）cos∠BAP的值． 参考答案 一、选择题
1．B 2．B 3．D 4．D 5．C 6．C 7．A 8．C 9．D 10．B 11．A 12．B 13．C 14．D 15．D 16．A 17．B 18．C 19．C 20．B 21．C 22．A 23．A 24．B 25．B 26．D 27．D 28．C 29．A 30．B 31．A 32．A 33．B 34．C 35．A 36．D 37．B 38．B 39．B 40．B 41．C 42．D 43．A 44．C 45．B 46．C 47．A 48．B 49．C 50．C 二、填空题
?41．50 2．2π 3．18π 4．7.5?10 5．5 6．5 7．30° 8．9 9．25 10．h＝r 11．42 12．3
或4 13．60°或120° 14．25?25? 15．1:2 16．30 17．80π或120π 18．100° 19．22 20．π 24821．1:4 22．1 23．288 24．4 25．2 26．15π 27．
?3?2?a 28．3π 29．27π平方厘米 30．4
31．24π平方厘米或36π平方厘米 33．43 32．
347 34．4 35． 36．12π 37．2，3 38．213 2739．
3?1 40．24，240π 41．60°，33 42．9，4 43．4π 44．1或5 45．8π 2三、解答题：
1．（1）∵ BE切⊙O于点B，∴ ∠ABE＝∠C． ∵ ∠EBC＝2∠C，即 ∠ABE＋∠ABC＝2∠C， ∴ ∠C＋∠ABC＝2∠C， ∴ ∠ABC＝∠C，∴ AB＝AC． （2）①连结AO，交BC于点F， ∵ AB＝AC，∴
＝
，
∴ AO⊥BC且BF＝FC．
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AF＝tan∠ABF， BF1AF1 又 tan∠ABF＝tanC＝tan∠ABE＝，∴ ＝，
2BF21 ∴ AF＝BF．
2 在Rt△ABF中，
5?1?2 ∴ AB＝AF?BF＝?BF??BF＝BF．
2?2?222 ∴
ABAB5． ??BC2BF4 ②在△EBA与△ECB中，
∵ ∠E＝∠E，∠EBA＝∠ECB，∴ △EBA∽△ECB．
?EAAB?162? ∴ ?EBBC，解之，得EA＝EA·（EA＋AC），又EA≠0，
5?BE2?EA?EC? ∴
11510EA＝AC，EA＝×2＝． 511112
2．设⊙的半径为r，由切割线定理，得PA＝PB·PC， ∴ 8＝4（4＋2r），解得r＝6（cm）． 即⊙O的半径为6cm．
3．由已知AD︰DB＝2︰3，可设AD＝2k，DB＝3k（k＞0）． ∵ AC切⊙O于点C，线段ADB为⊙O的割线， ∴ AC＝AD·AB，
∵ AB＝AD＋DB＝2k＋3k＝5k， ∴ 10＝2k×5k，∴ k＝10， ∵ k＞0，∴ k＝10． ∴ AB＝5k＝510．
∵ AC切⊙O于C，BC为⊙O的直径， ∴ AC⊥BC． 在Rt△ACB中，sinB＝ 4．解法一：连结AC．
2
2
22
AC1010． ??AB5105 13
∵ AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， ∴ ∠ACB＝90°． CD⊥AB于点D，
∴ ∠ADC＝∠BDC＝90°，∠2＝90°－∠BAC＝∠B．
1， 21 ∴ tan∠2＝．
2ADCD1AC??? ∴ ． CDDB2CB ∵ tanB＝
设AD＝x（x＞0），CD＝2x，DB＝4x，AB＝5x． ∵ PC切⊙O于点C，点B在⊙O上，∴ ∠1＝∠B． ∵ ∠P＝∠P，∴ △PAC∽△PCB， ∴
PAAC1??． PCCB2 ∵ PC＝10，∴ PA＝5，
∵ PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线， ∵ PC＝PA·PB，
∴ 10＝5（5＋5 x）．解得x＝3． ∴ AD＝3，CD＝6，DB＝12． ∴ S△BCD＝
22
11CD·DB＝×6×12＝36． 222
即三角形BCD的面积36cm．
解法二：同解法一，由△PAC∽△PCB，得 ∵ PA＝10，∴ PB＝20． 由切割线定理，得PC＝PA·PB．
2
PAAC1??． PCCB2PC2102? ∴ PA＝＝5，∴ AB＝PB－PA＝15， PB20 ∵ AD＋DB＝x＋4x＝15，解得x＝3， ∴ CD＝2x＝6，DB＝4x＝12． ∴ S△BCD＝
11CD·DB＝×6×12＝36． 222
即三角形BCD的面积36cm．
14
5．解：如图取MN的中点E，连结OE，
∴ OE⊥MN，EN＝
11MN＝a． 22 在四边形EOCD中，
∵ CO⊥DE，OE⊥DE，DE∥CO， ∴ 四边形EOCD为矩形． ∴ OE＝CD，
?a? 在Rt△NOE中，NO－OE＝EN＝??．
?2?2
2
2
2211π2?a? ∴ S阴影＝π（NO－OE）＝π·??＝a．
228?2?22
6．解：∵ ∠CDE＝∠CBA，∠DCE＝∠BCA，∴ △CDE∽△ABC．
S?CDE?DE??? ∴ ? S?ABC?AB? ∴
2S?CDE11DE＝＝＝，
SAB42?ABC 即
51?，解得 AB＝10（cm）， AB211FG＝×8＝4（cm）， 2211AB＝×10＝5（cm）． 22 作OM⊥FG，垂足为M， 则FM＝
连结OF， ∵ OA＝
∴ OF＝OA＝5（cm）． 在Rt△OMF中，由勾股定理，得
OM＝OF?FM＝5?4＝3（cm）． ∴ 梯形AFGB的面积＝ 7．
2AB?FG10?8·OM＝×3＝27（cm）． 222222(1)PA是⊙O的切线?2225π（或56.25π）?PA＝PB·PC?PC＝20?半径为7.5?圆面积为（平方单位）． ?4PB是C⊙O的割线? 15
(2)?C??BA?PACPAAC2??． ???△ACP∽△BAP?
ABPBAB1?P??P? 解法一：设AB＝x，AC＝2x，
BC为⊙O的直径?∠CAB＝90°，则 BC＝5x． ∵ ∠BAP＝∠C，∴ cos∠BAP＝cos∠C＝
AC2x2??5 BC5x52
2
解法二：设AB＝x，在Rt△ABC中，AC＋AB＝BC， 即 x＋（2x）＝15，解之得 x＝35，∴ AC＝65，
2
2
2
2
∵ ∠BAP＝∠C，∴ ∴ cos∠BAP＝cos∠C＝
AC652??5 BC155 16
(2)?C??BA?PACPAAC2??． ???△ACP∽△BAP?
ABPBAB1?P??P? 解法一：设AB＝x，AC＝2x，
BC为⊙O的直径?∠CAB＝90°，则 BC＝5x． ∵ ∠BAP＝∠C，∴ cos∠BAP＝cos∠C＝
AC2x2??5 BC5x52
2
解法二：设AB＝x，在Rt△ABC中，AC＋AB＝BC， 即 x＋（2x）＝15，解之得 x＝35，∴ AC＝65，
