萧萧慕雨
【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1 的坐标，进一步求出
，
，
，
的坐标．
（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值． 【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD， ∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax?平面ABCD， ∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，
以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． ∵AB=AD=2，AA1=∴A（0，0，0），B（D（0，2，0）， A1（0，0，
=（
．
），C1（
），
）．
=（
），
，
，∠BAD=120°，
），C（
，1，0），
（1）∵cos＜＞==．
∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为； （2）设平面BA1D的一个法向量为
，
由，得，取x=，得；
取平面A1AD的一个法向量为
．
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∴cos＜＞==．
∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．
【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．
26．（2017?江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）． 1 2 3 … m+n （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜
．
【分析】（1）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|
）P（
），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．
（2）X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，
n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．
【解答】解：（1）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球， 则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|=
）P（
）
=
=．
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证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，
P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，
∴E（X）=（）=
=＜=
=?（）
==，
∴E（X）＜．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
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