萧萧慕雨
（2）证明：由数列{an}是“P（2）数列”则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，① 数列{an}是“P（3）数列”an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，② 由①可知：an﹣3+an﹣2+an+an+1=4an﹣1，③ an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1，④
由②﹣（③+④）：﹣2an=6an﹣4an﹣1﹣4an+1， 整理得：2an=an﹣1+an+1， ∴数列{an}是等差数列．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．
20．（16分）（2017?江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a；
（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围． 【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）
=0，整理可知b=
+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′
（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3． （2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；
（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣
，利用韦达定理及完全平方关系
﹣
+
=
（4a3﹣27）（a3﹣27），结
可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣
+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．
21
【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1， 所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a， 令g′（x）=0，解得x=﹣．
由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；
所以f′（x）的极小值点为x=﹣，
由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点， 所以f（﹣）=0，即﹣
+
﹣
+1=0，
所以b=+（a＞0）．
因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值， 所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根， 所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣
+＞0，解得a＞3，
所以b=+（a＞3）．
（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；
﹣+=
（4a3﹣27）（a3﹣27），
（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，
设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=所以f（x1）+f（x2）=
+
+a（
+
，x1x2=， ）+b（x1+x2）+2
=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2 =
﹣
+2，
22
又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，
所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，
因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0， 所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0， 所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0， 由于a＞3时2a2+12a+9＞0， 所以a﹣6≤0，解得a≤6， 所以a的取值范围是（3，6]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．
二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分） 21．（2017?江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
求证：（1）∠PAC=∠CAB； （2）AC2 =AP?AB．
【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．
（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．
【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC． ∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°． ∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．
∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC， ∴∠PAC=∠CAB．
（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，
23
∴=．
∴AC2 =AP?AB．
【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
[选修4-2：矩阵与变换] 22．（2017?江苏）已知矩阵A=（1）求AB； （2）若曲线C1：
=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．
，B=
．
【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；
（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可． 【解答】解：（1）AB=
=
，
（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点， 点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y0）， 则
=
，即x0=2y，y0=x，
∴x=y0，y=
，
∴
，即x02+y02=8，
∴曲线C2的方程为x2+y2=8．
【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
24
23．（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），
曲线C的参数方程为距离的最小值．
（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的
【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．
【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0， ∴P到直线l的距离d=
=
，
∴当s=时，d取得最小值=．
【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．
［选修4-5：不等式选讲］
24．（2017?江苏）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8． 【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明． 【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16， 令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．
∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号． 因此ac+bd≤8．
【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【必做题】
25．（2017?江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=
，∠BAD=120°．
（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．
25
