佳人旧梦加热点F应置于抛物线的焦点，而焦点坐标为 (45.2，0)，所以F应距碟底约45.2cm．
(2)圆锥曲线在建筑中的应用
圆锥曲线因其方程简单，线型多变美观，且具有某些很好的力学性质，因此在建筑方面也不乏应用，特别是当前流行的大型薄壳顶棚建筑，其纵剖线很多都是圆锥曲线．
例6 以石油作为主要原料的合成化工厂的巨大反应塔或燃油发电厂的大型通风冷却塔等，因塔身巨大，为减小建筑成本和自重，需要将其设计成所谓等压力体，即塔身每点处承受相同的压力．经力学分析发现，以纵剖线近似为双曲线的塔身(也即塔的外形是双曲线的一段绕虚轴旋转所得到的曲面)能满足要求．现有一如图14-20(1)所示等压力结构的反应塔，其高为55m，塔的底部直径为27m，上口直径为14m，最细的腰部直径为12m，请据此算出它的外形是怎样的双曲线的一段绕虚轴旋转得到的．
解 在纵的总剖面上，以旋转轴为y轴，旋转轴与腰部最细处的横截面的交点为原点，建立如图14-20(2) 所示的坐标系，则塔身在此面上成为实轴在x轴上的双曲线的一段．用C、A、B三点分别表示塔底部、腰部、上口部，易知它们的坐标分别为A(6，0)， B(7，yB)，C(13.5，yC)，其中C、B的纵坐标还满足 yB=55+yC．
12 27 图14-20(1)
y ? B 6 7 13.5 ? x A O 55 14 xy=1． ?22ab因为A是双曲线的顶点，所以a=6．
又因为B、C在双曲线上，所以
22设双曲线的方程为
55 22(55?y)7C =1， (1) ?226b? C 图14-20(2)
213.52yC ?2=1． (2) 26b36362由(1)解出b2=(55+yC)2，由(2)解出b2=；由此得到 yC146.251336362 ( yC +55)2=． yC146.2513化简，并取两位小数，得到yC的方程：
2 yC+120.73yC+3320.12=0，
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解出 yC=
1(-120.73?35.99)． 2因为yB=55+yC>0，因此应取正号，所以yC?-42.37； b2=
36(-42.37)2， b?21.02， 146.25yB=55-42.37=12.63．
22xy 所以塔身系上述坐标系中方程似为=1的双曲线上在点B(7，?3644112.63)、C(13.5，-42.37)之间的一段绕y轴旋转而得．
例 7 日本大坂机场以建造在填海而成的人造岛上闻名于世，并且就其建筑本身而言，日本大坂机场也是人类建筑史上的奇迹．为了解决地面建筑必须有一定的高度，但高度又会导致负荷过重使地面下沉的矛盾，并考虑到因人造岛基础沉降需要随时调节建筑支柱高度的需要，建筑师们采用了薄壳顶棚结构．日本大坂机场整个屋面的纵断面是一条巨大的椭圆曲线，其几何中心在地下20 km的深处(如图14-21(1)，其中呈轴对称的AB曲线段即为纵剖面上的椭圆段)．请根据图上设计尺寸(单位：m)求出椭圆的方程．
解 以曲线段AB的对称轴为y轴，距顶棚最高点20092处为原点，建立坐标系(如图14-21(1) )，则
A(900，20060)，B(-900，20060)， C(0，20092)，
B ? 1800 图14-21(1)
y C ? ? B A x ?A 92 xy=1． ?22mn因为C是椭圆在y轴上的顶点，所以n=20092．
2260 设椭圆方程为
9002200602再以点A的坐标代入，得2?=1，解得m?15952.8． 2m20092x2y2所以椭圆方程为=1． ?215952.8220092
(3)圆锥曲线与天文计算
因为太阳系中天体运动轨道几乎都是圆锥曲线，古代人们为了占卜及预报日食、月食等需要，对圆锥曲线作了大量研究，不但使圆锥曲线成为最早认识的非圆曲线，也促进了数学本身的发展．
人造地球卫星的轨道也是椭圆，人们在设定了一定的轨道参数之后，就能控制和预报卫星的运行轨道．
例8 我国发射的一颗通讯地球卫星的运行轨道，是以地心C为一个焦
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O 图14-21(2) y B ? ? ? O C ? x A 图14-22
点的椭圆，近地点A距地面为439km，远地点 B距地面为2384km，且A、C、B在同一直线上．地球半径为6371km，求卫星的运行轨道方程．(精确到1km)
解 以AB为x轴，AB的中点为原点建立如图14-22所示的直角坐标系．设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则 a-c=CA=6371+439=6810， a+c=BC=6371+2384=8755，
解得 a=7782.5，c=972.5，b=a2?c2?7721.5．
22xy所以椭圆轨道近似为=1． ?(7783)2(7722)2
课内练习3
1. 碟形卫星通讯天线的外形示意图如图14-23(1)，碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以厘米为单位的设计尺寸如图14-23(2)所示．为了达到最佳接收效果，应把接收器F置于距碟底多少厘米的地方？
图14-23(1)
90 图14-23(2)
285 F 2. 学校里要建立一座标志性雕塑建筑，在同学中征集设计方案．有一位同学的设计主体是由四条粗大的管形曲线组成的支架，其上顶托一个圆球(如图14-24)．他在设计说明中指出，这个建筑总体外形如同一个宝瓶，形象简洁美观．从每个角度看过去，像一个“人”字，比喻教育树人；又像一个英文字母“x”，含探索未知世界的志向；圆球象征地球，表明背负保护、改造地球的重任．他的设计方案中选．施工单位提出，为了节省成本，采用薄形钢管为支架主材，因此宜用等压力结构，要求设计者提出钢管曲线数据．在这位同学的设计中，只标明了正方形边长7m，钢管高度8.5m，钢管上顶组成的正方形边长2.5m，而最细的腰部的正方形边长1.5m．到底是什么曲线
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图14-24
4
他也说不清．你能助他一臂之力吗？
3. 我国发射的第一颗科学试验卫星的轨道参数为：近地点182.6km，远地点266.0km，其余条件同例8，求该卫星的运行轨道方程．
阅读材料
圆锥曲线的力学背景
椭圆、双曲线的名称可以说根据各自图象的形状得到的，那么为什么把离心率等于1的圆锥曲线与物理味道很浓的抛物线联系在一起呢？这是因为当以一定的仰角?和初速度v抛射一个有一定质量的物体(例如一个球)时，在初速度不太大及理想情况下，物体由于地球引力作用，在空中飞行的路线正好是一条以到达的最高点为顶点，离心率为1的圆锥曲线(如图1)，因此自然地把它命名为抛物线．此时抛物线的焦点是地心．
如果初速度v能达到略超过9.8km/s，那么球就不会回落到地面上来了，而是在引力作用下，成为围绕地球运行的一颗“卫星”，运行轨道恰好是以地心O1作为一个焦点的椭圆(如图2中l1)．9.8km/s的速度叫做第一宇宙速度．
如果初速度v再大一些，能达到第二宇宙速度11.3km/s，那么球还能脱离地球的引力，进入太阳引力范围，成为围绕太阳运行的“行星”，它的运行轨道仍然是一个椭圆(如图2中l2)，太阳O是椭圆的焦点之一．初速度v越大，轨道椭圆就越“扁”，椭圆的离心率e就越接近1，也即椭圆的另一个焦点离太阳越远，此时球有点像“彗星”了――彗星通常在很“扁”的椭圆轨道上绕太阳运行．
设想物体的初速度能达到16km/s的第三宇宙速度，那么物体还能挣脱太阳的引力，这时物体的运行轨道将是一条以太阳为焦点的抛物线(如图2中l3)，也就是说物体将离太阳而去，永远不会回来了．
如果球的初速度超过了第三宇宙速度，则物体将沿以太阳作为一个焦点的双曲线轨道(如图2中l4)离太阳而去，成了茫茫宇宙中的一个“旅行者”． 人们在古代就因为农耕、占卜等的需要而关心天空中天体的运行，特别是太阳系中行星的运行，发现它们的运行轨道似圆非圆，很难精确地描述规律．人们直到对数学、力学的研究有了一定的建树，才得以在黄道面上精确地建立起它们的方程，发现所有行星运行轨道是以太阳为一个焦点，离心率各不相同的椭圆，从而可以精确地预测它们在天空中出现的位置，预报日食、月食的精确时间．近代，在力学进一步发展后人们发现，运行轨道之所以不同，全在于速度．现代数学、力学的成果，让人们知道了不同宇宙速度对天
图2
? v O ? 图1
l4 l3 l2 O l1 O1 ? 70
体运动的影响，掌握了捉摸不定的彗星的运行轨道，同时也为人类的太空探索奠定了基础．因此，古老的圆锥曲线对数学及人类科技文明的发展是功不可没的．
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