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2016-2017学年上海市高二（下）期中数学试卷
一、填空题
1．抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为
．2．方向向量为，且过点A（3，4）的直线的一般式方程为
．3．若复数z 满足
，则=．
4．直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夹角为
，则a 的值为．5．已知点（﹣4，0）是椭圆kx 2+3ky 2=1的一个焦点，则k=
．6．如果实数x，y
满足线性约束条件，则z=x﹣y+1的最小值等于．
7．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为．
8．参数方程（t 为参数），化为一般方程为．
9．以椭圆3x 2+13y 2=39的焦点为顶点，以为渐近线的双曲线方程为．10．M 是抛物线y=4x 2+1上的一个动点，且点M 是线段OP 的中点（O 为原点），P 的轨迹方程为．
11．某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm，则该地球仪的体积为
cm 3．12．若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）上总存在两个点到原点的距离为1，则a 的取值范围是．
二、选择题
13．命题p：a≥1；命题q：关于x 的实系数方程x 2
﹣2
x+a=0有虚数解，则p 是q 的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
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-2-14．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S 1、S 2，则S 1：S 2=（）
A．1：1B．2：1C．3：2D．4：1
15．如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（
）
A．（2）（3）（4）B．（1）（2）（3）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（4）
16．如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x 2+y 2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）
A．{2}∪（4，+∞）
B．（2，+∞）C．{2，4}D．（4，+∞）三、简答题
17．直角坐标系中，已知动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=﹣1距离之差为1，
（1）求点P 的轨迹C
（2）点A（3，1），P 在曲线C 上，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时点P 的坐标．
18．在长方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=3，过A 1、C 1、B 三点的平面截去长方体的一个
角后，得到如下所示的几何体ABCD﹣A 1C 1D 1．
（1）若A 1C 1的中点为O 1，求异面直线BO 1与A 1D 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求点D 到平面A 1BC 1的距离d．
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-3
-19．复数z 满足
z
+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，求|z|的最大值．
20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0，k∈R
（1）直线过定点P，求点P 坐标；
（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，O 为坐标原点，设三角形OAB 的面积为4，求出直线l 方程．
21．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F 的直线l 与椭圆C 相交于A、B 两点．设点P（4，3），记PA、PB 的斜率分别为k 1和k 2．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如果直线l 的斜率等于﹣1，求出k 1?k 2的值；
（3）探讨k 1+k 2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k 1+k 2
的取值范围．
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-4-2016-2017学年上海市师大二附中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为2．
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】直接利用抛物线的性质求解即可．
【解答】解：抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为：p=2．
故答案为：2．2．
方向向量为
，且过点A （3，4）的直线的一般式方程为2x﹣y﹣2=0．【考点】IG：直线的一般式方程．
【分析】根据点向式方程计算即可
【解答】解：
方向向量为
，且过点A （3，4）的方程为
=，
即2x﹣y﹣2=0，
故答案为：2x﹣y﹣2=0．3．若复数z
满足
，则
=．
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求值．
【解答】解：
∵
=
=，∴．
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-5-故答案为：．
4．直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0
的夹角为
，则a 的值为
2±．
【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【分析】先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求得a 的值．
【解答】解：直线x+y﹣2=0的斜率为﹣1，和ax﹣y+1=0的斜率为a，直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0
的夹角为
，∴
tan
=
=||，求得
a==2
﹣，或a=
=2+，
故答案为：2±．5．已知点（﹣4，0）是椭圆kx 2+3ky 2=1的一个焦点，则
k=
．
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程求解即可．
【解答】解：点（﹣4，0）是椭圆kx 2+3ky 2=1的一个焦点，可得：
，解得
k=
．故答案为：．6．如果实数x，y
满足线性约束条件，则z=x﹣y+1的最小值等于﹣2．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=﹣x 可得当直线经过点A（﹣2，1）时，z 取最小值，代值计算可得．
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-6-
【解答】解：作出线性约束条件，所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y=x+1+z，平移直线y=x 可知，
当直线经过点A（﹣2，1）时，截距取最小值，z 取最小值，
代值计算可得z 的最小值为z=﹣2﹣1+1=﹣2
故答案为：﹣2．
7．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为45°．
【考点】MI：直线与平面所成的角；L3：棱锥的结构特征．【分析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角．
【解答】解：如图，四棱锥P﹣ABCD 中，过P 作PO⊥平面ABCD 于O，连接AO，
则AO 是AP 在底面ABCD 上的射影．∴∠PAO 即为所求线面角，
∵AO=
，PA=1，∴cos∠PAO=
=．∴∠PAO=45°，即所求线面角为45°．
故答案为45°．
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-7
-
8．参数方程（t 为参数），化为一般方程为x+y﹣2=0．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．
【分析】参数方程消去参数t，能求出其一般方程．
【解答】解：∵参数方程（t 为参数），
∴消去参数t，得：x=1+（1﹣y），
整理，得一般方程为：x+y﹣2=0．
故答案为：x+y﹣2=0．
9．以椭圆3x 2+13y 2=39的焦点为顶点，
以为渐近线的双曲线方程
为
．
【考点】KI：圆锥曲线的综合．
【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的顶点坐标，结合双曲线的渐近线方程，求解即可．
【解答】解：以椭圆3x 2+13y 2=39的焦点为（±
，0）
，则双曲线的顶点（±，
0），可得
a=
，以为渐近线的双曲线，可得b=，
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-8-
所求的双曲线方程为：．故答案为：．
10．M 是抛物线y=4x 2+1上的一个动点，且点M 是线段OP 的中点（O 为原点），P 的轨迹方程为y=2x 2+2．
【考点】KK：圆锥曲线的轨迹问题．
【分析】设出P 的坐标，求出M 的坐标，动点M 在抛物线y=4x 2+1上运动，点M 满足抛物线方程，代入求解，即可得到P 的轨迹方程．
【解答】解：设P 的坐标（x，y），由题意点M 为线段OP 的中点，可知M（
，），动点M 在抛物线y=4x 2+1
上运动，所以
=4+1，所以y=2x 2
+2动点P 的轨迹方程为：y=2x 2+2．
故答案为：y=2x 2+2．11．某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm，则该地球仪的体积为288cm 3
．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm，可求纬圆半径，然后求出地球仪的半径，再求体积．
【解答】解：由题意：地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm，
纬圆半径是：3cm，
地球仪的半径是：6cm；
地球仪的体积是：
π×63=288cm 3
，故答案为：288π．12．若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2
=1（a＞0）上总存在两个点到原点的距离为1，则a 的取值范围是
（0，）．【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．
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-9-【分析】转化题目，为两个圆的位置关系，通过圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解即可．
【解答】解：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2
=1（a＞0）上总存在两个点到原点的距离为1，转化为：以原点为圆心1为半径的圆与已知圆相交，
可得
1﹣1＜
＜1+1，可得
＜2，即a∈（0，）．故答案为：（0，）二、选择题
13．命题p：a≥1；命题q：关于x 的实系数方程x 2
﹣2
x+a=0有虚数解，则p 是q 的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据复数的有关性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：若关于x 的实系数方程x 2
﹣2
x+a=0有虚数解，
则判别式△＜0，即8﹣4a＜0，解得a＞2，
∴p 是q 的必要不充分条件，
故选：B 14．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S 1、S 2，则S 1：S 2=（）
A．1：1B．2：1C．3：2D．4：1
【考点】LG：球的体积和表面积．
【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．
【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S 1=6π，
球的表面积为：S 2=4π．
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-10-所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S 1：S 2=3：2．
故选C．
15．如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（
）
A．（2）（3）（4）B．（1）（2）（3）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（4）
【考点】L7：简单空间图形的三视图．
【分析】主视图、左视图、俯视图中有且仅有两个相同，需要看出四个图形的三视图，圆柱的侧视图与主视图一样，圆锥的侧视图与主视图一样，四棱柱侧视图与主视图一样，得到结果．
【解答】解：要找三视图中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体，
需要看出所给的四个几何体的三视图，
正方体的三视图都是正方形，都相同，不合题意，
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