精 品[精品]00数学建模论文——图书馆的馆藏图书分配

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2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则． 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题． 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出． 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性．如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理．
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 (打印并签名) ：1． 2． 3． 指导教师或指导教师组负责人 宁 波 工 程 学 院 李瑜苗 杨路捷 吴建明 (打印并签名)： 数 模 组
A
日期：
2010 年 8 月 7 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号） ：
ksdowe
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2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
ksdowe
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图书馆的馆藏图书分配 摘 要
本文根据题意将数据进行分析处理，建立三个模型得到各类图书的综合权 重，以综合权重来确定应有的册数比例，给图书馆提供合理的图书采购方案． 对于问题一， 利用已知的信息， 采用 AHP 层次分析法[1]和模糊综合评价法[2]， 综合考虑各类图书的重点实验室和重点学科建设的需求与否、常用和热门程度、 重要公共课与否、技能课图书与否、上年的出借册次分布五个指标，确定各指标 对各类图书隶属度关系和模糊矩阵，从而得到相对重要程度的权重． 即各类书的相对重要程度的权向量分别为： 0.0484 0.0508 0.0367 0.0418 0.0405 0.0564 0.0368 0.0621 0.0554 0.0418 0.0375 0.0472 0.0357 0.0556 0.0495 0.0362 0.0414 0.0448 0.0673 0.0521 0.0357 对于问题二，采用和问题一类似的方法，对确定了的一年内的相对流通量、 图书平均借用时间、图书利用率三个指标进行处理，从而得到书籍在该校的实际 使用价值的相应权重．但值得注意的是，在问题二的处理过程中，采用了熵值法 对三个指标赋权，减少了主观因素对反映实际使用价值过程的影响． 即各类书的实际使用价值的权向量

分别为： 0.0415 0.0533 0.0402 0.0432 0.0506 0.0542 0.0389 0.0582 0.0497 0.0468 0.0421 0.0581 0.0436 0.0564 0.0549 0.0354 0.0473 0.0447 0.0585 0.0535 0.0288 由上数据可知对应的权值越大相应的价值越大． 对于问题三，引进了一种“席位分配[4]”的数学模型，在满足各类图书的最 低更新率的基础上，使得结果的相对不公平指标最小，从而得到了最优化的购书 分配方法． A、 类书增加 270 册， N 类书增加 520 册,D 类书增加 164 册,E、 即 B C、 R、S、U、V 类书增加 218 册,X 类书增加 1773 册,F 类书增加 1058 册,G 类书增 加 191 册,H3 类书增加 599 册,I 类书增加 898 册,J 类书增加 213 册,K 类书增加 234 册,Q 类书增加 247 册,P 类书增加 1987 册,O 类书增加 966 册,TH 类书增加 1068 册,TM、TS 类书增加 109 册,TN 类书增加 143 册,TQ 类书增加 483 册,TP 类书增 加 693 册,TU、TV 类书增加 315 册,Z 类书增加 965 册． 对于问题四，通过所编写的 MATLAB 的程序，不善于数学建模的人只需要 输入上一年该普通高校图书馆的馆藏图书的分布及流通情况和下一年计划投入 的总资金额这两个数据，就可以得到图书馆下一年的购书资金分配方案．
关键词： 关键词：AHP 层次分析法
熵值法
图书分配
席位分配
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一、问题的提出 现代化图书馆馆藏图书，主要目的不是为了收藏而是为了使用．除了国家图 书馆等特大型的图书馆以外，一般图书馆都有特定的服务群体，办馆宗旨就是要 尽量好地为这些特定群体服务，提高馆藏资源的利用率、读者文献信息需求的满 足率以及对图书馆服务功能的满意率．图书馆每年用于购书的经费是有限的，如 何合理分配使用， 以便使有限的购书经费最大限度地发挥其特定的经济效益是图 书馆工作的重要环节之一． 以某学校图书馆为例，要实现办馆效益，必须做到入藏文献合乎本校教师、 学生（有时也兼顾社会）的需求，使图书馆藏书结构（学科结构、文种结构、文 献类型结构等）能满足本校教学科研的要求，以求藏书体系与本校专业设置相适 应．所购图书要能够真实地反映读者的实际需要，使读者结构和藏书结构尽量吻 合，以便减少读者借不到图书的现象，即降低读者拒借的比率、增加满足率．文 献只有在流通中才能传播信息，产生效益．文献资料得不到利用，购置文献资料 所耗费的资金就体现不出其价值．因此，图书馆在增加藏书规模的同时，要千方 百计地把文献提供给读者，以增加图书的出借次数、出借时间以及在借图书的数 量等，力求使有限的价值投入获得最大的办馆效益． 该校图书馆每学年都要投入大量资金购置图书，图书覆盖全院各学科专业、 具有较完整的

中外文文献资源． 如何合理分配资金用于各种图书的购置成为一个 非常有价值的问题．
二、基本假设 1、假设该校各专业学生比例大致不会变且总人数相对稳定； 2、假设所借的图书没有不归还或丢失； 3、假设每年借书人数相对稳定； 4、假设题目给的数据真实有效．
三、定义符号说明 符号 ω 、ω ' ： 说明 指标权重向量 各个权向量对应的权重 模糊关系矩阵 最大特征根 一致性指标 随机一致性指标 模糊综合评价结果的向量 标准矩阵 各指标同度量化 熵值
ωi ： R：
λmax ： CI： RI： B 、B'： Y： p： ωe ：
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g： R'： ω '' ：
差异性系数 各指标对各类图书模糊矩阵 三项指标的权向量 每个综合评价值所对应的图书册数 剩余的资金 按每个综合评价值分配得到的图书对应的资金 综合评价值
ci ei M
pi
e
四、模型的分析、模型的建立及求解 4．1 问题一的分析及模型建立： ． 问题一的分析及模型建立： 4．1．1 问题一的提出和分析 ． ． 已知： 已知：①该普通高校的重点学科、重点专业的设置情况；②上一年该普通高 校图书馆的馆藏图书的分布及流通情况表． 要求： 要求：同时考虑重点实验室和重点学科建设的需求、常用书籍和流行热门书 籍、重要公共课、技能课图书（如英语、计算机类）的普通要求等几个方面，以 确定各类图书对于该校图书馆的相对重点程度（即相对权重） ． 分析： 我们以各类图书的重点实验室和重点学科建设的需求 分析：根据题目要求， 与否、常用和热门程度、重要公共课与否、技能课图书与否、上年的出借册次分 布这五个指标来衡量各类图书对于该校图书馆的相对重点程度（即相对权重） ． [1] 首先，通过层次分析法 确定个指标之间的权重，利用方根法计算出反映各 指标相对权重的权向量，并进行一致性检验；然后，确定各类图书与各指标之间 的隶属度关系，最后，利用加权平均型合成算子确定模糊综合评价[2]结果，得到 各类图书对于该学校图书馆的相对重要程度（即相对权重） ． 4.1.2 模型一的建立及求解 模型一 首先，用层次分析法确定权重,判断矩阵由 A．L．Saaty 的 1～9 比率标度方 法确定,结果见下关系表如下表 1： 重点学科 常用热门 公共课 技能课 出借册数 重点 1 4/3 2 4 5 常用 3/4 1 2 3 4 公共 1/2 1/2 1 2/1 3/1 技能 1/4 1/3 1/2 1 3/2 出借册数 1/5 1/4 1/3 2/3 1 表一 由表可得
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? 1 ? ?3/ 4 R = ? 1/ 2 ? ? 1/ 4 ? 1/ 5 ?
4/3 2 4 5 ? ? 1 2 3 4 ? 1/ 2 1 2 3 ? ? 1/ 3 1/ 2 1 3 / 2 ? 1/ 4 1/ 3 2 / 3 1 ? ?
用方根法计算得出权向量： ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 } = ( 0.3647 0.2941 0.1795 0.0946 0.0672 ) CI =

进 行 一 致 性 检 验 ： 最 大 特 征 根 λ max = 5.0166 ， 一 致 性 指 标 = 0.0042 ， 平 均 随 机 一 致 性 指 标 RI = 1.12 ， 随 机 一 致 性 比 率 n ?1 CI CR= = 0.00375 < 0.1 ， 因此该判断矩阵具有满意的一致性． 故通过一致性检验． RI 然后，分别给 21 类书在 5 个指标上进行打分 重点学 图书类 重要公 技能课 出借册 常用 科和重 别 共课 图书 数 点专业 A、B 3 3 6 3 7433 C 、N 3 4 3 3 20209 D 3 2 3 3 3773 E、 、 、 R S U、V 3 3 3 3 5900 X 3 3 3 3 1725 F 3 4 3 3 38194 G 3 2 3 3 4007 H3 3 4 6 6 23893 I 3 4 3 3 34937 J 3 3 3 3 5681 K 3 2 3 3 6164 Q 3 4 3 3 8670 P 3 2 3 3 462 O 3 4 6 3 2987 TH 5 4 3 3 2997 TM、TS 3 2 3 3 2236 TN 3 3 3 3 4413 TQ 5 3 3 3 2274 TP 5 4 6 6 27314 TU、TV 5 4 3 3 11435 Z 3 2 3 3 558 表二
λ max ? n
利用 MATLAB 软件对其进行归一化处理： 4
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图书类 别 A、B C、N D E、 S、 R、 U、V X F G H3 I J K Q P O TH TM、TS TN TQ TP TU、TV Z
重点 0.044944 0.044944 0.044944 0.044944 0.044944 0.044944 0.044944 0.044944 0.044944 0.044944 0.044944 0.044944 0.044944 0.05618 0.05618 0.044944 0.044944 0.05618 0.05618 0.05618 0.044944
常用 0.045455 0.060606 0.030303 0.045455 0.045455 0.060606 0.030303 0.060606 0.060606 0.045455 0.030303 0.060606 0.030303 0.060606 0.060606 0.030303 0.045455 0.045455 0.060606 0.060606 0.030303
公共课 0.068182 0.034091 0.034091 0.034091 0.034091 0.034091 0.034091 0.068182 0.034091 0.034091 0.034091 0.034091 0.034091 0.068182 0.034091 0.034091 0.034091 0.034091 0.068182 0.034091 0.034091 表三
技能书 0.043478 0.043478 0.043478 0.043478 0.043478 0.043478 0.043478 0.086957 0.043478 0.043478 0.043478 0.043478 0.043478 0.043478 0.043478 0.043478 0.043478 0.043478 0.086957 0.043478 0.043478
出借册 数 0.03453 0.093881 0.017527 0.027408 0.008013 0.17743 0.018615 0.110995 0.1623 0.026391 0.028635 0.040277 0.002146 0.013876 0.013923 0.010387 0.020501 0.010564 0.126887 0.053121 0.002592
确定各指标对各类图书的隶属度，得到模糊矩阵 R ? 0.042253521 0.042253521 L 0.070422535 0.042253521? ? ? 0.060606 L 0.060606 0.030303 ? ? 0.045455 R = ? 0.068182 0.034091 L 0.034091 0.034091 ? ? ? ? 0.046512 0.046512 L 0.046512 0.046512 ? ? 0.096422 L 0.038864 0.0206 ? ? ? 0.031669 利用加权平均型合成算子，将权向量 ω 与模糊关系矩阵 R 合成，得到模糊 综合评价结果向量 B ： B = ω ? R = (0.0484 0.0508 L 0.0521 0.0357)
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各类书的重要性权重 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 书类 权重 系列1
即各类书的相对重要程度的权向量分别为： 0.0484 0.0508 0.0367 0.0418 0.0405 0.0564 0.0368 0.0621 0.0554 0.0418 0.0375 0.0472 0.0357 0.0556 0.0495 0.0362 0.0414 0.0448 0.0673 0.0521 0.0357 4．2 问题二的分析及模型建立： ． 问题二的分析及模型建立： 4．2．1 问题二的提出及分

析 ． ． 已知： 已知：①图书最终的实现价值应取决于图书的被利用率；②上一年该普通高 校图书馆的馆藏图书的分布及流通情况表． 要求： 要求： 评价一本书的真正价值必须考虑到它的流通量大小和借用时间的长短 等，并根据该校上一年各类图书的出借情况，提出一种评价图书在该校实际使用 价值的方法． 分析： 我们同样先给出用来评价图书在该校的实际使用价值 分析：与问题一类似， 的三个指标：一年内的相对流通量、图书平均借用时间、图书利用率．然后，我 们采用熵值法 [3] 对这三个指标进行赋权处理，从而得到指标的权向量；利用 MATLAB 软件对各类图书的三个评价指标数据表中的数据进行归一化，从而得 到各指标对各类图书的隶属度模糊矩阵．最后，利用加权平均型合成算子确定模 糊综合评价结果，得到各类图书在该学校图书馆的实际使用价值． 4．2．2 模型二的建立及求解 ． ． 图书最终的实现价值应取决于图书的被利用率． 因而评价一本书的真正价值 必须考虑到它的流通量大小和借用时间的长短等多方面的指标． 在模型二的评价中，设定了三个指标来评价图书在该校的实际使用价值，三 个指标如下：一年内的相对流通量（出借册数/册数） 、图书平均借用时间（出借 总时间/出借册数） 、图书利用率（出借种类数/内容种类数） （数据见下表） ． 一年内 图书平 图书利 的相对 均借用 用率 （出 流通量 时间 （出 借种类/ （出借 借总时 内容种 册数/册 间/出借 类） 数） 册数） 0.8267 33.998 0.619953 6