九夏南笙专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数
第四讲导数及其应用
2．导数的几何意义．
函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义是：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．
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2.导数的四则运算法则．
(1)[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )；
(2)[u (x )v (x )]′＝u ′(x )·v (x )＋u (x )·v ′(x )；
(3)????
??u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）·v （x ）－u （x ）·v ′（x ）v 2（x ）(v (x )≠0)． 3．复合函数求导．
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数之间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′．
1．函数的单调性与导数的关系．
一般地，在某个区间(a，b)内：
(1)如果f′(x)＞0?函数f(x)在这个区间内单调递增；
(2)如果f′(x)＜0?函数f(x)在这个区间内单调递减；
(3)如果f′(x)＝0?函数f(x)在这个区间内是常数函数．
2．函数的极值与导数的关系．
一般地，对于函数y＝f(x)：
(1)若在点x＝a处有f′(a)＝0，且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则称x＝a为f(x)的极小值点，f(a)叫函数f(x)的极小值．
(2)若在点x＝b处有f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则称x＝b为f(x)的极大值点，f(b)叫函数f(x)的极大值．
3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
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