河海大学2002年数学分析

河海大学2002年数学分析

一、计算下列极限（16分，每题4分）

1

、n →∞++ ；

2、111lim()122n n n n

→∞+++++ ； 3

、0x →； 4

、32lim x x →+∞

二、计算下列积分（12分，每题4分）

1、arctan x xdx ?

2

、

3、24011x dx x

+∞

++? 三、设函数()f x 和()g x 在[],a b 连续，在(),a b 可导.证明：在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()()()()()()

f a f b f a f b a

g a g b g a g ξξ'=-'.（8分） 四、设函数()f x 和()g x 在[],a b 都可积，证明不等式：

222(()())(())(())b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx ≤???.（8分） 五、试用3x y x y ξη=-??=+?

作为新的自变量变换方程230xx xy yy u u u +-=.（8分） 六、求幂级数1

(1)n

n x n n ∞=+∑的和函数，并指出其定义域. （8分） 七、设某种流体的速度为v xi yj zk =++ ，求单位时间内流体流过曲面22:y x z

∑=+（2

0y h ≤≤）的流量，其中∑取左侧. （8分） 八、设0x >，0y >，0z >，求函数(,,)l n 2l n 3f x y z x y z =++在球面

22226x y z R ++=上的最大值.并证明：a ，b ，c 为正实数时，成立不等式

231086

a b c ab c ++≤.（14分） 九、证明：含参变量的反常积分0sin 2x x e dx x αα

+∞

-+?关于[]00,αα∈一致收敛. （8分） 十、函数[)[)

20,1,0(),0,1x f x x x ?∈-?=?∈??，x ππ-<<展开为Fourier 级数，并由此计算数项级数211n n ∞=∑的和. （10分）