柒夏在内的许多英国科学家。和这些学者的思想交流，大大开阔了莱布
尼兹的视野，促进了他的数学研究，特别是巴罗表示变量变化局部
关系的几何图像，也就是所谓的特征三角形，给莱布尼兹留下深刻
的印象。
这些日子，选侯忙于他的私人应酬，莱布尼兹正好抓紧时机夜以继日地在住所研究。有一次，他在一本小册子上看到一张图，顿时像
触电一样被吸引住了。这是布莱斯·帕
斯卡在1659年写的《四分之一圆的正弦
论》一文中的插图。帕斯卡写道，AD 比
DI 等于EE 比RR 或EK ，当区间很小
的时候，弧可以代替切线。帕斯卡用
这个引理去求一段曲线的正弦(纵坐
标)的和，也就是这段曲线下的面积。可惜帕斯卡没有深入下去。 这大概是他只把数学作为有趣的消遣，而“不愿为它多走两步”的 结果吧!不然的话，帕斯卡将比牛顿和莱布尼兹更早就找到微积分 的要害。莱布尼兹看到这里激动得彻夜难眠。他敏锐地意识到，帕 斯卡被什么东西蒙住了眼睛，以致没有发现这里面所包含的更普遍 的真理。
莱布尼兹完全清楚，这项研究的意义非同小可。这将开创一门 全新的学科。他发疯似地进行工作，写出了成百上千页的草稿和笔 记。问题不断深化，记号逐步完善。1675年10月29日，后世习用 的积分符号∫创造出来了。它是拉丁字母sum(和)的第一个字母的拉长。在这期间，他紧紧抓住微积分的要害不放，这就是微分和积分运算互逆性的探索。马车在暮色下跌跌撞撞地前进，凛冽的寒风冻麻了莱布尼兹的手脚，可是他的脑海却像翻腾的大海，进行着激烈的斗争。经过锲而不舍的思索，捷报终于传来。1675年11月11日，莱布尼兹的《切线的相反方法的例子》完成了!这是一个具有历史意义的日子。经过人类2000多年的奋斗，莱布尼兹独立于牛顿也创立了微积分!
这
门新兴的学科揭示了自然界运动变化的数学规律，极大地推动科学技术的发展。对于这样一个人类智力奋斗的伟大结晶，恩格斯给予崇高的评价：
“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看做人类精神的最高胜利了。”
莱布尼兹在这篇历史性的论文中明确地断言，作为求和过程的
积分，是微分的逆运算。这就是后世以牛顿一莱布尼兹命名的微积分的基本定理。要知道有多少个数学家，包括费马、帕斯卡、巴罗和
惠更斯在内，长期在这样一个重要的事实面前徘徊而不能识破啊!
这说明莱布尼兹具有超人一等的洞察力。第二年6月26日，莱布尼兹进一步明确：求切线最根本的方法就是求在切点处曲线的斜率，
也就是曲线在这一点的导数。1677年7月11日，莱布尼兹纠正了
他1675年11月1 1日历史性手稿中的一处错误，正确地给出了两个函数的和、差、积、商的求导公式。同年11月，他得到了幂函数求导和积分的一般法则。1680年，莱布尼兹用和今天相近的形式，计
算坐标系内曲线下面图形的面积和曲线绕x轴旋转所得的旋转体体积，其中，莱布尼兹使用无限小的术语，建立了他的无限小的方法。 1684年，莱布尼兹在他创办并且主编的《教师学报》上首次发
表他的微积分论文。这篇论文有一个很长的题目：《一种求极大值与极小值以及切线的新方法，它也适用于分式和无理数，以及这种
新方法的奇妙类型的计算》。从这以后，莱布尼兹的微积分的有关
成果陆续发表，内容相当于后世的初等微积分和它的几何应用。其
中主要的是1686年发表的《潜在的几何与分析，不可分和无限》。
作为哲学家的数学家，莱布尼兹在微积分创立中，根据他哲学
上的“单子论”，认为万物的基础是终极的、单纯的、不能扩展的
精神实体所谓“单子”，提出了无限小的思想，这是和牛顿的物理
方向不同的。到20世纪60年代，无限小思想得到进一步的开发。美国数学家鲁宾逊等人以数理逻辑模型论的概念和方法，建立起分析的非标准模型，对数学的发展产生相当大的影响。
莱布尼兹微积分的另一个特点是他的记号便于使用，表现有力，大大有利于推广和应用。这是一套一般人都能够使用的简便的法则，而他的符号，直到今天仍然很自然地适用于微分形式理论。这种方
法具有这样大的魅力，以致远在瑞士巴塞尔的雅各布·伯努利(1654—1705)和约翰·伯努利两兄弟看到莱布尼兹在《教师学报》
上的论文，先后抛弃自己原来的职业，决定去作数学家!
伯努利家族原是比利时王国安特卫普的望门大族。全家笃信新教。1583年，为了逃避天主教国王的宗教迫害，举家从安特卫普逃到联邦德国工商业中心之一的法兰克福，最后在瑞士的巴塞尔定居。伯努利家族是科学史上有名的科学世家。仅就数学来说，自从雅各
布和约翰兄弟以来，伯努利家族至少产生了11位具有世界声望的数学家，在17、18世纪为微积分的推广、应用和发展起了重要作用。伯努利家族的数学家有一个有趣的特点：他们都是半路出家的。他
们的父亲，无论自己是不是数学家，都要求自己的儿子学法律或者
经商，要不就攻读神学或医学，但是一定不能从事数学研究。可是
事与愿违，伯努利的子弟在父兄的影响下，最后都不约而同地来到
看起来枯燥无味却其乐无穷的数学王国聚首。
雅各布·伯努利本来是研究神学的，莱布尼兹的论文使他成为
微积分的大师，为微积分的普及、发展和应用作出巨大贡献。他在
解析几何、概率理论和变分法等方面都有重要成就。雅各布的弟弟
约翰，本来是个医生，在雅各布的影响下也成了数学家。约翰的著
述比雅各布更丰富。他为微积分在欧洲的普及做了大量工作。他在
微积分、微分方程、变分法和几何等方面有杰出成就。在光学、潮
汐理论，帆的数学理论和力学的虚位移原理等方面也有重要贡献。
伯努利兄弟和莱布尼兹建立了密切的通信联系，并且成为好朋友。伯努利兄弟惊叹莱布尼兹超人的洞察力和敏锐深邃的思想；莱
布尼兹钦佩伯努利兄弟的数学才能和钻研精神。莱布尼兹多次发觉，由于自己的研究没有及时公开，雅各布重复了他的工作。后来，莱
布尼兹和伯努利兄弟的关系密切到这种程度：当雅各布和约翰为发
明的优先权发生争执的时候，莱布尼兹不避嫌疑，以他特有的外交
才能积极从中调解。他们的交流合作使莱布尼兹创建的微积分首先
在欧洲大陆生根、开花、结果，并且形成了著名的“大陆学派”，为数学和科学技术的发展作出不可磨灭的贡献。
计算机先驱
莱布尼兹的微积分引起数学界的热烈反响并且得到迅猛的发展，
可是他的另一项数学创造却没有受到当时数学界的应有重视，同时
由于受技术发展的限制，没有很快兴起。这就是他对计算机的研究。
即使在向微积分实行最后冲刺的紧张时刻，早年“普遍数学”
的梦想仍使莱布尼兹魂牵梦萦。他想由“代数运算”代替推理，使
思维自动化。同时，他还想让单调重复的运算机器化，使人类从繁
重的计算工作中解放出来。他不止一次地大声疾呼．：
“让一些杰出的人才奴隶般地把时间浪费在计算上是不值得的。”
他不是耽于空想的人。他卷起袖子开始扎实的工作。他研究了
帕斯卡在1642年设计制造的十进制数字计算机，并且从车船上的里程记录仪器得到启发。1671年，一种能够作加减乘除的分级计算机
设计出来了。它通过多次的加减来实现乘除，还可以求平方根，因
此莱布尼兹的机械远超过帕斯卡所发明的只能够作加减运算的计算机。欧洲轰动了。计算机还没有造出来，巴黎王室图书馆馆长皮埃尔·卡尔卡维就催着把它送去展览。1672年，模型制成了。但是由
于当时机械加工的工艺水平低，3年以后计算机才真正造好。莱布
尼兹带着它到各地表演，受到热烈欢迎。1673年3月，在他访问伦
敦的时候，由于计算机的研制和其他的著述，莱布尼兹被选为英国
皇家学会外籍会员。莱布尼兹并不满足。他发现，平时用起来很方
便的十进位计数法，搬到机械上去实在太麻烦。能不能用较少的数
码来表示一个数呢?经过不断的摸索，莱布尼兹终于在1678年发明
二进位计数法，也就是二进制。这样，用0和1两个数码就可以表
示出一切数。比如用lO表示2，11表示3，100表示4，101表示5，
……发明二进制的意义不可低估。如果对机械式计算机来说，用二
进制还是用十进制计数只是个方便和不方便的区别，那么对电子计
算机来说，用二进制计数就是它不可或缺的基础了。因为在电学中，两种截然不同的稳定状态是大量存在的，如电容器的充电和放电，
脉冲的有和无，电路的闭合和断开等，而要找出一种具有10种稳定状态的电子元件是困难的。
莱布尼兹从小对东方文明，特别对伟大的中华民族的古代文明，非常向往。他在年轻的时候看到中国古籍《易经》中用八卦阴阳
来解释事物，曾经引起过莫大兴趣。他利用通信同到中国和锡兰的
人士建立联系。1683年4月1日，莱布尼兹通过耶稣会理事白晋，得到邵雍的64卦，也就是圆圆方位图和64次序图。他看了大为惊奇。他发现八卦图和他自己发明的二进制算法的思想完全一致。64 图形就表示从0开始的前64个数！
1694年，莱布尼兹制成经过改进的计算机，它能够作加减乘除
和开平方根的运算。当年，帕斯卡把他发明的计算机托笛卡儿献给
瑞典的克里斯蒂娜女王，来博得她的欢心；而莱布尼兹却把自己的
计算机送给康熙皇帝，以表示他对《易经》阴阳八卦学说的推崇。
后来他还设计过更复杂的机械计算机，可惜限于当时的技术水平没
有制成。19世纪，有人根据他的想法，制成了更高级的机械计算机。到20世纪中叶，更出现了对科学技术和人类社会具有巨大影响的电子计算机，它的计数基础正是莱布尼兹发明的二进制。
不幸的争论
自从1673年莱布尼兹访问英国结识牛顿以后，两人通过信件交流学术思想。虽然他们有截然不同的性格、禀赋和环境，探索自然奥秘的共同志愿却把他们联系在一起。那时候信件的传递很不容易。1676年初夏，牛顿由英国皇家学会秘书奥登堡转交的信，莱布尼兹直到8月份才收到。莱布尼兹在回信中，肯定牛顿在无穷级数、光色理论、反射望远镜研制等方面的成就，同时把他自己在微积分研究上取得的成果向牛顿作了介绍。可是10月27日牛顿来信表示，他不愿继续保持通信。信中只给出一个极难解出的字谜，却没有说明理由。对于这段往事，牛顿在1687年回忆道：
“大约10年前，在和非常博学的数学家莱布尼兹的通信中，我告诉他，我发明了一种可以求极大值与极小值、作出切线以及解答类似数学问题的方法。这种方法对于无理数和有理数同样有效。当我谈到这点时，我没有把方法告诉他。这位知名人士回信告诉我，他也想到了类似的一种方法，并且把它告诉了我。他的方法除了定义、符号、公式和算出数的想法在形式上和我的不一样以外，几乎没有多大的差别。”
1687年以前，牛顿虽然没有发表过他的微积分论文，但是从1665年开始，他把自己的研究结果陆续通知了朋友，特别在1669 年，他把关于微积分的第一篇重要著作《运用无限多项方程的分析学》交给巴罗，巴罗又把它交给约翰·柯林斯登记备案。柯林斯是
奥登堡和皇家学会的数学顾问，他把牛顿的论文印发给皇家学会会员，请他们评审。所以，牛顿的论文实质上是公开发表了；莱布尼
兹后来也看到过这篇文章，虽然它的正式发表要拖到1711年。那时候，莱布尼兹的微积分已经在伯努利兄弟的合作下在欧洲流行起来了。英国人感到十分不满。1712年，英国皇家学会在一份鉴定中公开指责莱布尼兹剽窃了牛顿的流数法。莱布尼兹得悉以后大为恼火。大陆上他的追随者也群起反击。他们不清楚牛顿的流数法，却了解
莱布尼兹的微积分。历史上一场旷日持久的优先权的争论开始了。这使得已经被发霉的贵族家史忙得头昏脑胀的莱布尼兹更加烦躁起来。 1714年，莱布尼兹写了《微分学的历史和起源》，一方面记述
他自己思想的发展，另一方面也是回答英国人的攻击。在书中莱布
尼兹特别强调了自己的微积分的独特性。后来，他又利用自己主编
的《教师学报》用第三人称为自己辩护：
“在莱布尼兹建立这种新运算的专用观念以前，它肯定没有进
入任何人的心灵。”
应该说，像微积分这样伟大的创造，不是一两个人的功绩。一
部微积分的发展史是震撼人心的智力奋斗的结晶。这场斗争至少可
以追溯到2500年以前。从芝诺的悖论，欧多克斯的穷竭法一直到
笛卡儿、费马的坐标几何，帕斯卡、巴罗的特征三角形，每一步都
