霜标水月孤高线、中线重合．
其中全称量词命题是 _______ ．
[ 解析] ①②④是全称量词命题，③是存在量词命题．
[ 答案] ①②④
8 2 2
8．四个命题：①? x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②? x∈Q，x2＝2；③? x∈R，x2＋1＝0；④? x∈R, 4x2>2x －1＋3x2. 其中真命题的个数为．
[解析] ①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x＝± 2时，x2＝2，而± 2为无理数，故②为假命题；③因为x 2＋1>0( x∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即( x －1) 2>0，当x＝1时( x－1) 2＝0，故④为假命题．[ 答案] 0
三、解答题
9．判断下列命题是不是全称量词命题或存在量词命题，并判断真假．
(1) 存在x，使得x－2≤0；
(2) 矩形的对角线互相垂直平分；
(3) 三角形的两边之和大于第三边；
无理数，而( 2) 2＝2不是无理数，所以C为假命题．
[ 答案] A
二、填空题
6 ．“任意一个不大于0 的数的立方不大于0”用“ ? ”或“ ? ”符号表示为
[ 解] (1) 存在量词命题．如 x＝2 时， x－2＝0 成立，所以是真命题．
(2) 全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题．
(3) 全称量词命题．因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题．
(4) 存在量词命题．因为3是素数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些素数是奇数” 是真命题．
10．用量词符号“ ? ”“ ? ”表述下列命题，并判断真假．
(1) 所有实数 x都能使 x910＋x＋1>0 成立；
(2) 对所有实数 a， b，方程 ax＋ b＝0 恰有一个解；
(3) 一定有整数 x，y，使得3x－2y＝10 成立；
1 2 1
(4) 所有的有理数 x 都能使3x2＋2x＋1 是有理数．
[ 解] (1) ? x∈R，使 x2＋x＋1>0；真命题．
(2) ? a，b∈R，使 ax＋b＝0 恰有一解；假命题．如当 a＝0，b＝0 时，该方程的解有无数个．
(3) ? x，y∈Z，使3x－2y＝10；真命题．
1 2 1
(4) ? x∈Q，使3x2＋2x＋1 是有理数；真命题．
综合运用11．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是( )
A．对任意的 a，b∈R，都有 a2＋b2－2a－2b＋2<0 B．菱形的两条对角线相等
C．? x∈R， x2＝ x
D．平面内，不相交的两条直线是平行直线
[ 解析] A中的命题是全称量词命题，但是 a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1) 2＋(b－1) 2≥0，
故是假命题； B 中的命题是全称量词命题，但是是假命题；C中的命题是全称量词命题，但
x2 ＝| x| ，故是假命题；很明显D中的命题是全称量词命题且是真命题，故选 D.
9 2 1 2
B．? x∈R，ax －bx≤ax0－bx0
22
[ 答案] D
12．已知 a>0，则“ x0满足关于 x 的方程 ax＝b”的充要条件是( )
1 2 1 2
A．? x∈R，2ax －bx≥2ax0－bx0
1 2 1 2
C ．? x ∈R ，2ax 11－bx ≥ 2ax 2
0－bx 1 2 1 2 D ．? x ∈R ，2ax －bx ≤ 2ax 0－bx 0
12
－bx ≥ 2ax 02
－bx 0，故选 C. [ 答案 ] C
22
13．已知函数 y ＝x 2＋bx ＋c ，则“ c <0”是“ ? x 0∈ R ，使 x 20＋bx 0＋c <0”的 （ ） A ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2 2 2 2
[ 解析 ] ? x 0∈ R ，使 x 20＋ bx 0＋ c <0 的充要条件是 x 02＋bx 0＋c <0有解，即 b 2－
4c >0,4c
.
[ 答案 ] {a | a <－ 1}
1
15．已知命题“ ? x ∈R,2x ＋（a －1）x ＋2≤0”是假命题，求实数 a 的取值范围．
2 1 2
[解] 由题意可得“对 ? x ∈R,2x 2
＋（a －1）x ＋2>0 恒成立”是真命题，令 Δ＝（a －1）2 － 4<0，得－ 1
(4) 有些素数是奇数．
11 2 2
所以当 c <0时，一定有 4c
[ 答案 ] A
14．若对于任意 x ∈ R ，都有 ax 2＋ 2x ＋ a <0，则实数 a 的取值范围是 ____
a <0，
2
Δ＝4－4a 2<0，
[ 解析 ] 由于 a >0 ，令函数 1 2 1 b y ＝2ax 2－bx ＝ 2a x －a 2－ 2b a ，故此函数图象的开口向上，
2a
且当 x ＝
，取得最小值－ 2b a ， 而 x 0 满足关于 x 的方程 b 1 2 ax ＝b ，那么 x 0＝ a ，故? x ∈R ，[ 解析 ] 依题意，得 即
a <0 ， a <－ 1或
a >1， ∴ a <－ 1. B ．必要不充分条件
