坦然理解- 1 -
闵行区2019届高三期末质量调研
数学试卷
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知全集U =R ，集合2{|30}A x x x =-≥，则U A =e
2. 2221lim 331
n n n n →∞-=++ 3. 若复数z 满足(12i)43i z +=+（i 是虚数单位），则z =
4. 方程110322
x =-的解为 5. 等比数列{}n a 中，121a a +=，5616a a +=，则910a a +=
6. 5(12)x -的展开式中3x 项的系数为 （用数字作答）
7. 已知两条直线1:4230l x y +-=和2:210l x y ++=，则1l 与2l 的距离为
8. 已知函数()|1|(1)f x x x =-+，[,]x a b ∈的值域为[0,8]，
则a b +的取值范围是
9. 如图，在过正方体1111ABCD A B C D -的任意两个顶点的
所有直线中，与直线1AC 异面的直线的条数为
10. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
面积为S ，且224()S a b c =+-，则cos C =
11. 已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且3π
αβ-=，若向量c 满足
||1c a b --=，则||c 的最大值为
12. 若无穷数列{}n a 满足：10a ≥，当n ∈*N ，2n ≥时，1121||max{,,,}n n n a a a a a ---=???（其中121max{,,,}n a a a -???表示121,,,n a a a -???中的最大项），有以下结论：
① 若数列{}n a 是常数列，则0n a =（n ∈*N ）；
② 若数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，则0d <；
③ 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则1q >；
④ 若存在正整数T ，对任意n ∈*N ，都有n T n a a +=，则1a 是数列{}n a 的最大项.
则其中的正确结论是 （写出所有正确结论的序号）
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若a 、b 为实数，则“1a <-”是“
11a >-”的（ ）
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A. 充要条件
B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件
D. 既非充分也非必要条件
14. 已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a α
β=，a ∥b ，则下 列结论不可能成立的是（ ）
A. b β，且b ∥α
B. b α，且b ∥β
C. b ∥α，且b ∥β
D. b 与α、β都相交
15.
已知函数y =（x a ≥，0a >，0b >）与其反函数有交点，则下列结论 正确的是（ ）
A. a b =
B. a b <
C. a b >
D. a 与b 的大小关系不确定
16. 在平面直角坐标系中，已知向量(1,2)a =，O 是坐标原点，M 是曲线||2||2x y +=上
的动点，则a OM ?的取值范围为（ ）
A. [2,2]-
B. [
C. [
D. [
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，D 为棱BC 的中点.
（1）求该三棱柱的表面积；
（2）求异面直线AB 与1C D 所成角的大小
.
18. 已知抛物线2:2y px Γ=（0p ≠）.
（1）若Γ上一点(1,)M t 到其焦点的距离为3，求Γ的方程；
（2）若2p =，斜率为2的直线l 交Γ于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于点M ，O 为坐标原
点，0OA OB ?=，求点M 的坐标.
19. 在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现
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其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y （元）与时间x （天）的关系在ABC 段可近似地用函数sin()20y a x ω?=++(0,0,0)a ω?π>><<的图像从最高点A 到最低点C 的一段来描述（如图），并且从C 点到今天的D 点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号.
老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF 段所示，且DEF 段与ABC 段关于直线:34l x =对称，点B 、D 的坐标分别是(12,20)、(44,12).
（1）请你帮老张确定a 、ω、?的值，并写出ABC 段的函数解析式；
（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，
那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？
20. 对于函数()y f x =，若函数()(1)()F x f x f x =+-是增函数，则称函数()y f x =具有
性质A .
（1）若2()2x f x x =+，求()F x 的解析式，并判断()f x 是否具有性质A ；
（2）判断命题“减函数不具有性质A ”是否真命题，并说明理由；
（3）若函数23()f x kx x =+(0)x ≥具有性质A ，求实数k 的取值范围，并讨论此时函数
()(sin )sin g x f x x =-在区间[0,]π上零点的个数.
21. 对于数列{}n a ，若存在正数p ，使得1n n a pa +≤对任意n ∈*N 都成立，则称数列{}n a 为
“拟等比数列”.
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（1）已知0a >，0b >，且a b >，若数列{}n a 和{}n b 满足：12a b a +=
，1b = 12
n n n a b a ++=
，1n b +=()n ∈*N ； ① 若11a =，求1b 的取值范围；
② 求证：数列{}n n a b -()n ∈*N 是“拟等比数列”；
（2）已知等差数列{}n c 的首项为1c ，公差为d ，前n 项和为n S ，若10c >，40350S >， 40360S <，且{}n c 是“拟等比数列”，求p 的取值范围. （请用1c ，d 表示）
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数学试卷参考答案与评分标准
一. 填空题 1．()0,3； 2．23
； 3．2i -； 4．2log 5x =； 5．256； 6．80-； 7
．2；8．[]2 4，；9．12； 10．0； 11
．1+12．①②③④.
二. 选择题 13．B ； 14．D ； 15．B ； 16．A ．
三. 解答题
17．[解] （1
）22=32+224
S ?? ………6分 （2）取AC 的中点E ，联结1DE C E 、，则//ED AB ，
所以1C DE ∠（或其补角）是异面直线AB 与1C D 所成的角．…8分
在1C DE △
中，11C D C E ==1DE =，
所以2221111cos 2C D DE C E C DE C D DE +-∠===??12分 所以AB 与1C D
所成的角的大小为arccos
10． …………14分 18．[解] （1）由条件知1342
p p +=?=, ………………4分 所以Γ的方程为28y x =. ………………………6分
（2）设点M A B 、、的坐标分别为(),0(0)m m >、()11,A x y ，()22,B x y ， 则直线l 的方程为2()y x m =-； ………………………8分
{222()2404y x m y y m y x
=-?--==， ………………………10分 2221212124,16
y y y y m x x m ?=-== ………………………12分 21212404OA OB x x y y m m m ?=+=-+=?=，
所以M 点的坐标为()4,0. ………………………14分
19．[解] （1）因为C D 、两点关于直线l 对称，所以点C 的坐标为()24,12，……2分
又点B 恰在平衡位置，C 为最低点，得
2448248124ππω==?=?=T T …4分 将()12,20B 代入解析式可得：
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sin 120cos 024π?????+=?= ???，∴2π?=， …………………………6分 再结合C 点是最低点，可得8a =.
∴ABC 段的解析式为[]8sin +20,0,24242y x x ππ??=+∈ ???
……………………8分 （2）由对称性得，DEF 段的解析式为：
()()[]8sin 68+208cos 68+20,44,6824224y x x x πππ????=-+=-∈????????
，…10分 若股价至少是买入价的两倍，则
()8cos 68+202424x π??-≥????
………………………………12分 ()1cos 68242
x π???-≥????解得6068x ≤≤ 所以买入16天后，股价至少是买入价的两倍. …………………………14分
20．[解] (1)212()(1)()(1)22221x x x F x f x f x x x x +=+-=++--=++ ……2分 而()221x F x x =++在(),-∞+∞上是增函数，
所以()f x 是否具有性质A . ………………………………4分
(2)假命题. ………………………………6分
如函数()0)f x x =≥是减函数， ………………………………8分
()F x ==函数()F x 在[0 )+∞，
上单调递增，∴()0)f x x =≥具有性质P ．
∴命题是假命题. ………………………………10分
(3) 23232()(1)(1)3(23)1(0)F x k x x kx x x k x k x =+++--=++++≥， 因为函数23()(0)f x kx x x =+≥具有性质A ， 所以233062
k k +-≤?≥- ． ………………………………12分 23()(sin )sin sin sin sin g x f x x k x x x =-=+-，由()0g x =得
23sin sin sin 0sin 0k x x x x +-=?=或2sin sin 1k x x =-+
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0x ?=或x π=或1sin sin k x x ??=-- ???
()0,x π∈． …………………14分 设sin x t =，则(]1,0,1k t t t ?
?=--∈ ??? 由函数(]1,0,1k t t t ?
?=--∈ ???
的图像可知 当3,02k ??∈-????时，11t t =>，1sin x t =无解；
当0k =时，11t =，sin 1x =?2
x π
= ； 当()0,k ∈+∞时，()1
0,1t t =∈，1sin x t =在()0,π上有两个解； 综上所述：当3,02k ??∈-????
时，()g x 在区间[]0,π上零点的个数为2； 当0k =时，()g x 在区间[]0,π上零点的个数为3；
当()0,k ∈+∞时，()g x 在区间[]0,π上零点的个数为4．………………16分
21．[解] （1）①∵0 0a b >>，，且a b >，112
a b a +==，∴11b =<， ∴1(0 1)b ∈，
， ……………………………………4分 ②依题意得：112a b a b +=
>= 所以，当* 2n n ∈≥N ，
时，1102n n n n a b a b --+-=>，……………6分 所以对任意*
n ∈N ，都有 111()222n n n n n n n n a b a b a b a b ++++-=
<=-， ………………8分 即存在12
p =，使得11()n n n n a b p a b ++-<-， ∴数列*{}(N )n n a b n -∈是“拟等比数列”．……………………………………10分
（2）()201840351403640364035004036002c S c c S ?>?>?????+?<
…………………12分 201820181201820192019
100201700020180c c c d c c c c d >>+>?????????+<<+
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由10c >可知0d <，从而解得120182017c d
-<<-， …………………14分 又{}n c 是“拟等比数列”，故存在0p >，使得1n n c pc +≤ 1?当2018n ≤时，0n c >，
()()+11111111111n n c c n d d p c c c n d c n d n d +?≥==+=++-?+-???-- ??? 由1120182017201812019c c d d
-<<-?<-<， 由图像可知11
11c n d +
??-- ???在2018n ≤时递减， 故211201620171,20172018c d p c c ??≥=+∈ ???
； ………………………16分 2?当2019n ≥时，0n c <，
()()+11111111111n n c c n d d p c c c n d c n d n d +?≤==+=++-?+-???-- ??? 由1120182017201812019c c d d
-<<-?<-<， 由图像可知11
11c n d +
??-- ???在2019n ≥时递减，故1p ≤； 由12??可得，此时p 的取值范围是111d c ?
?+????
， ………………………18分
