惜文+
++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。 解析：函数式变形为： (y －m)x 2－43x ＋(y －n)＝0，x∈R，
由已知得y －m≠0，∴ △＝(－43)2－4(y －m)(y －n)≥0。
即：y 2－(m ＋n)y ＋(mn －12)≤0 ①，
不等式①的解集为(－1,7)，则1120497120+++-=-++-=??
?()()m n mn m n mn 。
解得：m n ==???51或m n ==???15 ∴ y＝…… （也可： 由解集(－1,7)而设(y ＋1)(y －7)≤0,然后与不等式①比较系数而得。） 点评：本例解法中，对题设中给出的最值，一方面认为是方程的实数解，另一方面又认为是不等式的恒成立条件。由于对题设条件的理解深刻，所以构思新颖，证法严谨。
题型9：方程思想在数列知识中的应用
例9．若(z －x)2 －4(x －y)(y －z)＝0,求证：x 、y 、z 成等差数列。
分析：题设正好是判别式b 2－4ac ＝0的形式，因此构造一个一元二次方程求解。 证明：当x ＝y 时，可得x ＝z ，∴x、y 、z 成等差数列；
当x≠y 时，设方程(x －y)t 2－(z －x)t ＋(y －z)＝0，由△＝0得t 1＝t 2，并易知t ＝
1是方程的根。
∴t 1·t 2＝y z x y
--＝1，即2y ＝x ＋z ， ∴x、y 、z 成等差数列。
点评：题设条件具备或经变形整理后具备x 1＋x 2＝a 、x 1·x 2＝b 的形式，则利用根与系数的关系构造方程；具备b 2－4ac≥0或b 2－4ac≤0的形式，可利用根的判别式构造一元二次方程。
题型10：方程思想在三角知识中的应用
例10．△ABC 中，求证：cosA·cosB·cosC≤18
证明：设k ＝cosA·cosB·c osC ＝12[cos(A ＋B)＋cos(A －B)]·cosC＝12
[－cosC ＋cos(A －B)]cosC ；
整理得：cos 2C －cos(A －B)·cosC＋2k ＝0，即看作关于cosC 的一元二次方程。
∴△＝cos 2(A －B)－8k≥0，即 8k≤cos 2(A －B)≤1；
∴ k≤18即cosA·cosB·cosC≤18
。 点评：既是方程思想，也属判别式法。还可用放缩法：cosA·cosB·cosC＝… ＝－12cos 2C ＋12cos(A －B)·cosC＝－12[cosC －cos()A B -2]2＋18cos 2(A －B)≤18
cos 2(A －B) ≤18
。 题型11：函数零点与方程的解
例11．（1）（2020天津理2）函数
()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（ ）． A ．()2,1-- B ．()1,0- C ．()0,1
D ．()1,2 【答案】B 【解析】解法1．因为
()22260f --=-<，()11230f --=-<，()00200f =+>， 所以函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是()1,0-．故选Ｂ．
解法2．()230x f x x =+=可化为23x x =-．画出函数2x
y =和3y x =-的图象，可观察出选项Ｃ，Ｄ不正确，且()00200f =+>，由此可排除Ａ，故选Ｂ．
点评：函数的零点、方程的根以及函数图像与x 轴的交点之间存在相互转化关系。本题主要考察学生对方程的根与函数零点关系的理解，以及利用函数图象确定函数零点的个数的方法。
（2）已知函数)1ln(2)(x x x f -+=，则方程0)(=x f 在（2-，1）内有没有实数解？
说明理由？
解析：由基本初等函数的性质可知函数)1ln(2)(x x x f -+=在其定义域)1,(-∞内的图象连续，
且有023ln )1(2)1(<-=+-=-e e e e f ，0211ln
)11(2)11(>-=+-=-e e e e f ， 于是有)1(e f -·0)1
1(<-e
f 。 ∴函数)(x f 在区间（e -1，e
11-
）内至少有一个零点， 即方程0)(=x f 在区间（e -1，e 11-）?（2-，1）内至少有一个实数解． 点评：本题主要考察学生对函数零点存在判定定理的理解与应用。
【思维总结】
1．函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系；
2．在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想；
3．函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决．
总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题。在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案。
