惜文专题四：函数与方程思想
【考情分析】
纵观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。
在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：（1）解方程；（2）含参数方程讨论；（3）转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；（4）构造方程求解。
预测2020年高考对本讲考查趋势：函数的零点问题、二次函数、二次方程、二次不等式间的关系；特别注意客观形题目，大题一般难度略大。
【知识交汇】
函数与方程（不等式）的思想贯穿于高中学习的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，
求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程（不等式）
思想的运用使我们解决问题的重要手段。
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0
通过方程进行研究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题；
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；
3．函数的思想与方程的思想的关系
在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决．对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程可相互转化。
4．函数方程思想的几种重要形式
（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y ＝f(x)，当y ＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y ＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y ＝f(x)的零点；
（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y ＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；
（3）数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；
（4）函数f(x)＝n
b ax )(+（n∈N *）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；
（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；
（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
【思想方法】
题型1：函数思想在方程中应用
例1．已知
155=-a c b （a 、b 、c ∈R ），则有（ ） (A) ac b 42> (B) ac b 42≥ (C) ac b 42< (D) ac b 42≤
解析：
法一：依题设有 a ·5－b ·5＋c ＝0， ∴5是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的一个实根；
∴△＝ac b 42-≥0 ∴ac b 42≥ 故选(B)；
法二：去分母，移项，两边平方得：
22210255c ac a b ++=≥10ac ＋2·5a ·c ＝20ac ，
∴ac b 42
≥ 故选(B)
题型2：函数思想在不等式中的应用 例2．若a 、b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围。
方法一 (看成函数的值域)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ≠1，∴b ＝a ＋3a －1，而b >0，∴a ＋3a －1
>0，即a >1或a <－3，又a >0，∴a >1，故a －1>0.∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝(a －1)2＋5(a －1)＋4a －1＝(a －1)＋4a －1
＋5≥9. 当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时取等号．又a >3时，(a －1)＋4a －1
＋5是关于a 的单调增函数．
∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．
方法二 (看成不等式的解集)∵a ，b 为正数，∴a ＋b ≥2ab ，又ab ＝a ＋b ＋3，∴ab ≥2ab ＋3.
即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)，∴ab ≥9.∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．
方法三 若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，∴a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正
根．
从而有????? Δ＝(t －3)2－4t ≥0a ＋b ＝t －3>0
ab ＝t >0，即????? t ≤1或t ≥9t >3t >0，
解得t ≥9，即ab ≥9.∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．
点评：当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决。当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决。
题型3：函数思想在实际问题中的应用
例3．（2020陕西理14) ．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．
【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题；
【解】（方法一）设树苗放在第i 个树坑旁边（如图），
1 2 … i … 19 20
那么各个树坑到第i 个树坑距离的和是：
(1)10(2)10()10[(1)]10(20)10
s i i i i i i i =-?+-?++-?++-?++-?(1)(20)(120)10[(20)]22
i i i i i i i i +-++=??--?-+210(21210)i i =-+。 所以当10i =或11时，s 的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米。 （方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和
第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是19(119)10(1219)210238002
+?+++?=??=；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是：
10(129)10(1210)2
?++++?+++?9(19)10(110)1021029001100200022
?+?+=??+??=+=， 所以路程总和最小为2000米.
点评：构造的二次函数形式在解题过程中起到了关键作用，函数是解决具体问题的有效工具。该题通过分析实际模型建立了函数解析式，研究函数的性质，解释问题。
题型4：函数思想在数列中的应用
例4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知123=a ，12S >0，13S <0，
（1）求公差d 的取值范围；
（2）指出1S 、2S 、3S …，12S 中哪一个最大，并说明理由。
解析：（1）由123=a 得：d a 2121-=，
∵12S ＝d d a 4214444121+=+>0，13S ＝d d a 5215678131+=+<0， ∴7
24- 512(212)1(21-+=-+=， ∵d<0，n S 是关于n 的二次函数，对称轴方程为：x ＝ d 1225-。 ∵724- 13， ∴当n ＝6时，n S 最大。 点评：数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。 题型5：函数思想在立体几何中的应用 例5．（1）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在平面，C 是圆周上任一点，设∠BAC ＝θ，PA ＝AB=2r ，求异面直线PB 和AC 的距离。 分析：异面直线PB 和AC 的距离可看成求直线PB 上任意一点到AC 的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。 解析：在PB 上任取一点M ，作MD⊥AC 于D ，MH⊥AB 于H ， 设MH ＝x ，则MH⊥平面ABC ，AC⊥HD， ∴MD 2＝x 2＋[(2r －x)sinθ]2＝(sin 2＋1)x 2－ P M A H B D C 4rsin2θx＋4r2sin2θ＝(sin2θ＋1)[x－2 1 2 2 r sin sin θ θ + ]2＋ 4 1 22 2 r sin sin θ θ + 即当x＝2 1 2 2 r sin sin θ θ + 时，MD取最小值 2 12 r sin sin θ θ + 为两异面直线的距离。 点评：本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。 （2）已知由长方体的一个顶点出发的三条棱长之和为1，表面积为，求长方体的体积的最值。 解析：设三条棱长分别为x，y，z，则长方体的体积V＝xyz。 由题设有：； 所以， 故体积V（x）， 下面求x的取值范围。 因为， 所以y、z是方程的两个实根。 由， 因为 所以当时，； 当时，。 点评：解决本题的关键在于确定目标函数时，根据相关条件的特征，构造了二次方程，并由此得出定义域使问题得解。 题型6：利用方程思想处理解析几何问题 例6．（1）直线与圆相切，则a的值为（） A．B． C．1 D． 解析：由直线方程得，并代入圆方程，整理得。 又直线与圆相切，应有，解得。 故选D。 点评：即把直线方程代入圆或圆锥曲线的方程，消去y，得关于x的一元二次方程，其判别式为△，则有：（1）曲线C与直线相离；（2）曲线C与直线相切；（3）曲线C与直线相交。 （2）△ABC的三边a，b，c满足b＝8－c，，试确定△ABC的形状。 解析：因为b＋c＝8，， 所以b，c是方程的两实根， 即，所以a＝6。从而得b＝c＝4，因此△ABC是等腰三角形。 点评：构建一元二次方程的模型解决数学问题，是一种行之有效的手段，其独特功能在于充分运用构建的一元二次方程及根的判别式和求根公式变更命题，从而使问题获得圆满解决。 题型7：函数思想在三角中的应用 例7．（1）求的取值范围。 解析：设， 则，构造二次函数， 由图1可知： 图1 即。 （2）已知函数，当有实数解时，求a 的取值范围。 解析：由得，分离a 得： ； 问题转化为求a 的值域。 因为，所以。 故当时，有实数解。 点评：该题通过三角换元构造了二次函数，最终求得最值。 题型8：方程思想在求函数最值中的应用 例8．（1）如果函数的最大值是4，最小值是－1，求实数a 、b 的值。 解析：由y 的最大值是4，知存在实数x 使＝4，即方程有实根，故有； 又由y 的最大值是4，知对任意实数x 恒有，即恒成立，故，从而有。 同样由y 的最小值是－1，可得。 由，可解得。 （2）已知函数y ＝mx x n x 22431
