寒春玉柳解答： 解：如图，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，OB=1，OD ⊥BC ．
∵等边三角形的内心和外心重合，
∴OB 平分∠ABC ，则∠OBD=30°；
∵OD ⊥BC ，OB=1，
∴OD=． 故答案为：．
点评： 考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径．
14．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为4，则阴影部分的面积等于
π ．
考点： 正多边形和圆；扇形面积的计算．
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专题：压轴题．
分析：先正确作辅助线，构造扇形和等边三角形、直角三角形，分别求出两个弓形的面积和两个三角形面积，即可求出阴影部分的面积．
解答：解：连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZ⊥CD于Z，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，
由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，
∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，
∴BM=OB×sin60°=2，OM=OB?cos60°=2，
∴BD=2BM=4，
∴△BDO 的面积是×BD×OM=×4×2=4，
同理△FDO的面积是4；
∵∠COD=60°，OC=OD=4，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD=∠ODC=60°，
在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2，
∴S扇形OCD﹣S△COD =﹣×4×2=π﹣4，
∴阴影部分的面积是：4+4+π﹣4+π﹣4=π，
故答案为：π．
点评：本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是求出两个弓形和两个三角形面积，题目比较好，难度适中．
三．解答题（共6小题）
15．如图，正五边形ABCD中，点F、G分别是BC、CD的中点，AF与BG相交于H．
（1）求证：△ABF≌△BCG；
（2）求∠AHG的度数．
考点：正多边形和圆；全等三角形的判定与性质．
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专题：综合题．
分析：（1）利用正五边形的相等的角和相等的边得到证明全等三角形的条件后证明全等即可；
（2）将∠AHG的度数转化为正五边形的内角的度数求解．
解答：（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD，（2分）
∵F、G分别是BC、CD的中点，
∴BF=CG，（4分）
在△ABF和BCG中，
AB=BC，∠ABC=∠BCD，BF=CG，（5分）
∴△ABF≌△BCG；（6分）
（2）解：由（1）知∠GBC=∠FAB，
∵∠AHG=∠FAB+∠ABH=∠GBC+∠ABH=∠ABC（，7分）
∵正五边形的内角为108°，
∴∠AHG=108°．（9分）
（注：本小题直接正确写出∠AHG=108°不扣分）
点评：本题考查了正多边形的计算及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地利用正五边形中相等的元素．
16．如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH=120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．
（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH．
（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．
考点：正多边形和圆；全等三角形的判定与性质．
专题：探究型．
分析：（1）先有正多边形的内角和定理得出六边形ABCDEF内角的度数，再根据
∠FMH=120°，A、M、B在一条直线上，再根据三角形内角和定理即可得出结论；
（2）①当点M与点A重合时，∠FMB=120°，MB与BQ的交点H与点B重合，故可直接得出结论；
②当点M与点A不重合时，连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MG，由全等三角形的判定定理可得出△MBH≌△MBG，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
解答：（1）证明：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴每个内角均为120°．
∵∠FMH=120°，A、M、B在一条直线上，
∴∠AFM+∠FMA=∠FMA+∠BMH=60°，
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精品学习资料∴∠AFM=∠BMH．
（2）解：猜想：FM=MH．
证明：①当点M与点A重合时，∠FMB=120°，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM=MH．②当点M与点A不重合时，
证法一：如图1，连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MG．
∵∠BAF=120°，AF=AB，
∴∠ABF=30°，
∴∠ABG=180°﹣30°=150°．
∵MH与六边形外角的平分线BQ交于点H，
∴∠CBQ=×60°=30°，
∴∠MBH=∠ABC+∠CBQ=120°+30°=150°，
∴∠MBH=∠MBG=150°．
∵，
∴△MBH≌△MBG，
∴∠MHB=∠MGB，MH=MG，
∵∠AFM=∠BMH，∠HMB+∠MHB=30°，
∴∠AFM+∠MGB=30°，
∵∠AFM+∠MFB=30°，
∴∠MFB=∠MGB．
∴FM=MG=MH．
证法二：如图2，在AF上截取FP=MB，连接PM．
∵AF=AB，FP=MB，
∴PA=AM
∵∠A=120°，
∴∠APM=×（180°﹣120°）=30°，
有∠FPM=150°，
∵BQ平分∠CBN，
∴∠MBQ=120°+30°=150°，
∴∠FPM=∠MBH，
由（1）知∠PFM=∠HMB，
∴△FPM≌△MBH．
∴FM=MH．
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点评： 本题考查的是正多边形和圆，涉及到正多边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，涉及面较广，难度较大．
17．如图，分别求出半径为R 的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积．
考点： 正多边形和圆．
分析： 如图1，连接OB 、OC ，过O 作OD ⊥AB 于D ，求出中心角AOB ，解直角三角形求出AD 和OD ，根据垂径定理求出AB ，即可得出答案；连接OA 、OB 、OC ，求出中心角COD ，根据勾股定理求出CD ，即可得出答案．
解答： 解：如图1，连接OB 、OC ，过O 作OD ⊥AB 于D ，
∵⊙O 是正三角形ABC 的外接圆，
∴∠AOB==120°，
∵OA=OB ，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
在Rt △ADO 中，AO=R ，AD=R ×sin60°=
R ，OD=Rcos60°=R ，
∵OD ⊥AB ，
∴AB=2AD=R ，
∴正△ABC 的周长是3AB=3R ；面积是3×AB ×OD=3××R ×R=R 2； 如图2，连接OA 、OB 、OD ，
∵⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，
∴∠COD==90°，
∵OD=OC=R ，由勾股定理得；CD==R ，
∴正方形ABCD 的周长为4×R=4R ，面积为
R ×R=2R 2．
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点评： 本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，正多边形的性质的应用，解此题的关键是求出正多边形的边长，主要考查学生的计算能力，难度适中．
18．正六边形的边长为8，则阴影部分的面积是多少？
考点： 正多边形和圆．
分析： 如图，作辅助线；首先证明△OAB 、△OAC 均为等边三角形，得到
∠BAO=∠CAO=60°，借助扇形的面积公式和三角形的面积公式即可解决问题．
解答： 解：如图，连接OA 、OB 、OC ；
由题意知：∠BOA=∠COA=
=60°， ∵OA=OB=OC ，
∴△OAB 、△OAC 均为等边三角形，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
=；
=32，
∴阴影部分的面积=3×=64π﹣96
．
点评： 该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用正多边形和圆的性质来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．
19．如图，把一根圆柱形的木头锯成正方体形的柱子，使截面正方形的四个顶点均在圆上．
（1）正方形的对角线与圆的直径有什么关系？
（2）设圆O 的半径为2，求圆中阴影部分的面积之和．
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考点：
正多边形和圆． 分析： （1）直接根据圆周角定理即可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出AD 的长，再根据S 阴影=S ⊙O ﹣S 正方形ABCD 即可得出结论．
解答： 解：（1）连接AC ，
∵∠D=90°，点D 在⊙O 上，
∴正方形的对角线是圆的直径；
（2）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=CD ．
∵圆O 的半径为2，
∴2AD 2=AC 2，即2AD 2=42
，解得AD=2，
∴S 阴影=S ⊙O ﹣S 正方形ABCD =π×22﹣（2）2=4π﹣8．
点评：
本题考查的是正多边形和圆，熟知正方形的性质是解答此题的关键．
20．如图，某圆形场地内有一个内接于⊙O 的正方形中心场地，若⊙O 的半径为10米，求图中所画的一块草地的面积．（计算结果保留π）
考点： 正多边形和圆．
专题： 计算题．
分析： 连接AC ，可得AC 为直径，根据勾股定理可求出AB 的长，而阴影部分的面积为圆面积减去正方形面积的四分之一．
解答： 解：连AC ，则AC 为直径，即AC=20，
∵正方形ABCD 中，
AB=BC ，∠B=90°，
∴在Rt △ABC 中，
AB 2+BC 2=AC 2，
2AB 2=202，
∴AB 2=200，
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17 ==（25π﹣50）米2
． 点评： 本题考查了正多边形和圆，注：90°的圆周角所对的弦是直径．
