岛与幕歌
（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ；
（2）求证：PA ⊥平面PCD ；
（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3
【解析】（1）连接BD ，易知AC BD H =，BH DH =.
又由BG=PG ，故GH PD ∥.
又因为GH ?平面P AD ，PD ?平面P AD ，
所以GH ∥平面P AD .
（2）取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN ⊥PC ，
又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC 平面PCD PC =，
所以DN ⊥平面P AC ，
又PA ?平面P AC ，故DN PA ⊥.
又已知PA CD ⊥，CD DN D =，
所以PA ⊥平面PCD .
（3）连接AN ，由（2）中DN ⊥平面P AC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面P AC 所成的角，
因为PCD △为等边三角形，CD =2且N 为PC 的中点，
所以DN =又DN AN ⊥，
在Rt AND △
中，sin DN DAN AD ∠==
18 所以，直线AD 与平面P AC
所成角的正弦值为3
.
【名师点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力.
6．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．
求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；
（2）BE ⊥C 1E ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，
所以ED ∥AB .
在直三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，
所以A 1B 1∥ED .
又因为ED ?平面DEC 1，A 1B 1 平面DEC 1，
所以A 1B 1∥平面DEC 1
.
19 （2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .
因为三棱柱ABC ?A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .
又因为BE ?平面ABC ，所以CC 1⊥BE .
因为C 1C ?平面A 1ACC 1，AC ?平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，
所以BE ⊥平面A 1ACC 1.
因为C 1E ?平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .
【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
7．【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=?，
11
30,,,BAC A A AC AC E F ∠=?==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；
（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
35
． 【解析】方法一： （1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．
又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ?平面A 1ACC 1，
平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，
所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．
又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．
所以BC ⊥平面A 1EF ．
因此EF ⊥BC ．
20
（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形． 由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1， 所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上． 连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）． 不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E
，EG
由于O 为A 1G
的中点，故12A G EO OG === 所以222
3
cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==?．
因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是3
5．
方法二：
（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC . 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ?平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ． 如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．
不妨设AC =4，则
21 A 1（0，0，
B
1，0
），1B
，3,22
F ，C (0，2，0)．
因此，33(,
22
EF =，(BC =． 由0EF BC ?=得EF BC ⊥．
（2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．
由（1）可得1=(310)=(02BC AC --，，，，，
． 设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，
， 由100BC A C ??=???
=??
n n ，得00
y y ?+=??
=??， 取n (11)=，故||4sin |cos |=5
|||EF EF EF θ?==?，n n n |， 因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为
35． 【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.
8．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC
为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23
BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．
【答案】（1）见解析；（2）1.
【解析】（1）由已知可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥．
又BA ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ．
