岛与幕歌立体几何（解答题）
1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE ⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥11
E BB C C
的体积．
1
2 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中
AB =1，BE =BF =2，
∠FBC =60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．
（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；
（2）求图2中的四边形ACGD 的面积.
4．【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为
CD 的中点．
（1）求证：BD ⊥平面PAC ；
（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；
（3）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．
5．【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △
为等
3 边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,2,3PA CD CD AD ⊥==.
（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ；
（2）求证：PA ⊥平面PCD ；
（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.
6．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．
求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；
（2）BE ⊥C 1E ．
7．【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=?
，
4 11
30,,,BAC A A AC AC E F ∠=?==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；
（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.
8．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC
为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23
BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．
9．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】 如图，在三棱锥P ABC -中
，AB BC ==，
4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
5
（1）证明：PO ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．
10．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异
于C ，D 的点．
（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．
11．【2018年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ?ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA
⊥PD ，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点
.
6
（1）求证：PE ⊥BC ；
（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；
（3）求证：EF ∥平面PCD .
12．【2018年高考天津卷文数】如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M
为棱AB 的中点，AB =2，AD
=BAD =90°．
（1）求证：AD ⊥BC ；
（2）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；
（3）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．
13．【2018年高考江苏卷】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．
7
求证：（1）AB ∥平面11A B C ；
（2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．
14．【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，
A 1A =4，C 1C =1，A
B =B
C =B 1B =2．
（1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；
（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．
15．【2017年高考全国Ⅰ文数】如图，在四棱锥P ?ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=．
8
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，且四棱锥P ?ABCD 的体积为
83
，求该四棱锥的侧面积．
16．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，1,2
AB BC AD BAD ==∠90.ABC =∠=? （1）证明：直线BC ∥平面PAD ;
（2）若△PCD
的面积为P ABCD -的体积.
17．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．
9
（1）证明：AC ⊥BD ；
（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
18．【2017年高考北京卷文数】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为
线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．
（1）求证：PA ⊥BD ；
（2）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；
（3）当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥E –BCD 的体积．
19．【2017年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥
，
10 1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．
（1）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；
（2）求证：PD ⊥平面PBC ；
（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．
20．【2017年高考山东卷文数】由四棱柱ABCD ?A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1?B 1CD 1后得到的几何体如图所示，四边
形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A 1E ⊥平面ABCD .
（1）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;
（2）设M 是OD 的中点，证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.
21．【2017年高考江苏卷】如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (
E
11 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．
求证：（1）EF ∥平面ABC ；
（2）AD ⊥AC ．
22．【2017年高考浙江卷】如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，
CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．
（1）证明：CE ∥平面PAB ；
（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．
P
A
B
C
D E
12
立体几何（解答题）专题答案 1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4
，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1
，A 1D 的中点.
（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离．
【答案】（1）见解析；（2.
【解析】（1）连结1,B C ME . 因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且11
2ME B C =.
又因为N 为1A D 的中点，所以11
2ND A D =.
由题设知11=A B DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥. 又MN ?平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE . （2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H . 由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，
13 由已知可得CE =1，C 1C =4
，所以1C E =
，故17
CH =. 从而点C 到平面1C DE
的距离为17
.
【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用线面垂直找到距离问题，当然也可以用等积法进行求解.
2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，
BE ⊥EC 1．
（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；
（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．
【答案】（1）见详解；（2）18.
【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ?平面ABB 1A 1，
14 故11B C BE ⊥．
又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．
（2）由（1）知∠BEB 1=90°
. 由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以1145AEB A EB ?∠=∠=，
故AE =AB =3，126AA AE ==.
作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==．
所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183
V =???=．
【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.
3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其
中AB =1，BE =BF =2，
∠FBC =60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．
（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；
（2）求图2中的四边形ACGD 的面积.
【答案】（1）见解析；（2）4.
【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G
，
15 D 四点共面．
由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ．
又因为AB ?平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．
（2）取CG 的中点M ，连结EM ，DM.
因为AB ∥DE ，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE ⊥CG .
由已知，四边形BCGE 是菱形，且∠EBC =60°得EM ⊥CG ，故CG ⊥平面DEM ．
因此DM ⊥CG ．
在Rt △DEM 中，DE =1，EM
DM =2．
所以四边形ACGD 的面积为4．
【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量是不变的，再者折叠后的多面体不是直棱柱，突出考查考生的空间想象能力.
4．【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E
为CD 的中点．
（1）求证：BD ⊥平面PAC ；
（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；
（3）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，理由见解析.
【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，
所以PA BD ⊥．
16 又因为底面ABCD 为菱形，
所以BD AC ⊥．
所以BD ⊥平面PAC ．
（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AE ?平面ABCD ，
所以PA ⊥AE ．
因为底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，且E 为CD 的中点，
所以AE ⊥CD ．
所以AB ⊥AE ．
所以AE ⊥平面PAB ．
所以平面PAB ⊥平面PAE ．
（3）棱PB 上存在点F ，使得CF ∥平面PAE ．
取F 为PB 的中点，取G 为PA 的中点，连结CF ，FG ，EG ．
则FG ∥AB ，且FG =12
AB ． 因为底面ABCD 为菱形，且E 为CD 的中点， 所以CE ∥AB ，且CE =
12AB ． 所以FG ∥CE ，且FG =CE ．
所以四边形CEGF 为平行四边形．
所以CF ∥EG ．
因为CF ?平面PAE ，EG ?平面PAE ，
所以CF ∥平面PAE ．
【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力
.
17 5．【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等
边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,2,3PA CD CD AD ⊥==.
