根轴的性质及应用

沈文选

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中等数学

根轴的性质及应用

沈文选

（湖南师范大学数学奥林匹克研究所，#!(()!）

（本讲适合高中）!

基础知识

定义从一点#作一圆周的任一割线，

从点#起到和圆周相交为止的两线段之积，称为点#对于这个圆周的幂%

由相交弦定理及切割线定理，知点#的幂是定值%若点#在圆内，则点#的幂等于以该点为中点的弦的半弦长的平方；若点#在圆外，则点#的幂等于从该点所引圆周的

则点#的切线长的平方；若点#在圆周上，

幂等于(%

收稿日期："(($,($,(#

由定义，关于圆周的幂有下列结论：

结论!点#对于以,为圆心的圆

周的幂，等于,#及其半径的平方差%

结论"对于两已知圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线%事实上，设点#到$,!和$,"的幂相等，-（$,"的半径分别为-!、$,!、"-!-"""

，则#,"即-"）!,-!+#,",-"，

"""#,"!,#,"+-!,-"+常数%

如图!，设,!,"的中点为$，#.%

则,!,"于.，

""

$.，#,"!+#$*,!$*",!$

（"）如图"&，&!与&"为相交线，&$与&#为平行且&"、线，&$、&&三线共点%问图&&与&%也为平行线，中有多少对同旁内角？（答案：)"）

以这’*$个点为顶#（%!）##"!内有’个点，

点，连(条线将##"!分割成)个互不重叠的小三角形%求证：)+"’*!，(+$’%

则)、若将##"!改为多边形#!#"…#*时，(的取值如何？（答案：)+"’,"**，(+$’,$**）

（"）在（!）中，若将#、黄色、"、!分别染上红色、蓝色，而其余的’个点每点任意染上红、黄、蓝三色之一%求证：三顶点都不同色的小三角形的总数必是奇数%

（提示：若边的两端点同色，则将两端点重合，不影响三顶点不同色的小三角形个数%）

每两点都连一条线，每&%连结圆周上的’个点，三线都不共点，共可把圆面分成+’块区域%已知+"+"，+$+#，+#+)，+&+!%%求+%（答案：%$!）是一个"’"的正方形%若%%如图"%，

用#种不同颜色染#个小正方形，每个染一种颜色，相邻的区域颜色不同%问有多

图

"#

图

!#

"$

"

%答案：

&(）

如图"#，$（%!）&!与&"为相交线，&$与&#为平行线，所有的#条直线无三线共点%问图中有多少对同旁内角？（答案：!%）

图"%

少种不同的染色方法？（答案：)#）

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期

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&!%$&!

易得#$""常数%

!"%"!

所以，过定点$的垂线即是两圆等幂点的轨迹

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*"""!$%

周的幂的应用图一!(足分

!$

)"("$")!，知)、*、!三点共线%

因为$!’(")&*，’#"!(，

有$!’*"$!(’"$!)’%从而，

!’是%’)*外接圆的切线%故点!对%’)*外接圆的幂!’!等于点!对!"%的幂!+!%因此，!’"!+%

#，内垂、!’：分切与

!$!#$’）"$(’$#%

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$’"$$’,，

所以，,$"$’"!&+,-!"!&/!%从而，/"!"&!$/! !&/-/!

#/-!"（&$/-）!

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因此，!/与!"相切%!%!根轴性质的运用

如与，作

外"

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们的一条内公切线切!!!于点"，切!!"于点#$求证：直线%"和&#的交点在两圆的连心线上$

证明：设直线%"的延长线和&#的交点直线%&与#"的延长线的交点为(，连为’，

则%""!!(，结!!(、!"(，&#"!"($

由!!(平分#%("，!"(平分#&(#，知!!("!"($从而%""&#，即’是分别以%&和"#为直径的圆!!和圆!"的交点$因此，’在圆!!和圆!"的根轴上$

连结!!%、!!"$由!!%"%&知，!!%是圆!!的切线，!!关于圆!!的幂是!!%"$同理，!!"是圆!"的切线，!!关于圆

"的幂是!!""

$

由于!!%"#!!""，所以，!!是关于圆!和圆!"的等幂点$

同理，!"也是关于圆!!和圆!"的等幂点$

因此，!!!"是圆!!和圆!"的根轴$于是，点’在连心线!!!"上$

"，不与、*

!!、!!点$的

是

!!

沈文选

期

再由!、"、#、$及!、%、#、&分别四点共圆，有

’! ’"!’$ ’#，(! (%!(& (#)因此，’、(对!#$&的外接圆与!!"%的外接圆的幂相等)从而，’、(在这两个外接圆的根轴上，即有’("*+)故’("*,)

例!如图"，#*过!#$&的顶点#、且与#$、（-与(相异）&，$&交于点-、()!#$&的外接圆和!$-(的外接圆相交于$和’)求证：$$’*!"#$)

（第%&届’()

）

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学

根轴交于一点!"

又直线#$、%&、’(分别为!)!与

则!)"与!)、!)!与!)的根轴，!)"、

#$、%&、’(交于一点"故#$过点!"

由于*+是!)#与!)的根轴，则!)!

与!)#的一个交点为#时，另一个交点在直线#$上，且为点$，即!)#过点$"又

有"#$)$%&’"由于#)为直径，

反之，若例(结论成立，也可推得例)结论成立"例)中的圆内接四边形’#(,也一一对应于例(中的四边形’(&%"

例!如图"，某圆分别与凸四边形