呆萌综合征华东师范大学线性代数A期末考试卷-姚强
华东师范大学期末试卷(A)
2013―2014学年第二学期
课程名称:学生姓名:专
业:
线性代数
学
号:
年级/班级:
课程性质:专业必修
一
二
三
总分
阅卷人签名
注:在该试题中,E表示单位矩阵.
一、单项选择题(共15分,每小题3分)
1.设A,B是n阶方阵,满足关系AB=O,则必有(A)A=B=O(C)|A|=0或|B|=0
(B)A+B=O(D)|A|+|B|=0
.
2.下面说法中不.·正·确·的是
(A)若m×n矩阵A与B等价,则它们的秩相同(B)若m×n矩阵A与B的秩相同,则它们等价
(C)若n维向量组α1,α2,···,αs与β1,β2,···,βt等价,则它们的秩相同(D)若n维向量组α1,α2,···,αs与β1,β2,···,βt的秩相同,则它们等价3.设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则线性方程组(AB)x=0(A)当n>m时仅有零解(C)当m>n时仅有零解
(B)当n>m时必有非零解(D)当m>n时必有非零解
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4.若n阶方阵A与B相似,则(A)A与B合同
(C)A与B相似于同一对角矩阵
.
(B)A与B的特征方程相同
(D)存在正交矩阵Q,使得B=Q 1AQ
300111
5.设A= 111 ,B= 000 ,则A与B
111000(A)合同且相似
(B)合同但不相似
.
(D)不合同且不相似
(C)不合同但相似
二、填空题(共25分,每小题5分)
6.已知3阶方阵A的三个特征值是1,2,3,则|A 1+A |=
111 1 7.设矩阵A= 022 ,则(A)=003
.
8.若n维向量组α1,α2,α3,α4(n≥4)线性无关,则向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1的关系是
(填“线性相关”或“线性无关”).
9.若α,β,γ是规范正交向量组,则∥α+β+γ∥=
[
10.若A=
k
k]
是负定矩阵,那么k应满足的条件是
k 2
.
三、计算及证明题(共60分,要求写出具体过程)
11.(10分)设n阶方阵A=(α1,α2,···,αn),B=(α1+α2,α2+α3,···,αn+α1),其
中α1,α2,···,αn为n维列向量(n≥2).已知|A|=a(a=0),求|B|的值.
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a111 1 a 1
,α2= ,α3= ,α4= 1 .问当a为何值12.(10分)设4维向量组α1= 1 1 a 1 111a
时,α1,α2,α3,α4的秩为3?当α1,α2,α3,α4的秩为3时,求其一个极大无关组,并
将其余向量用该极大无关组线性表示.
4 33 12015 13.(10分)已知A= 5 45 ,求可逆矩阵P使得PAP为对角矩阵,并求A.00114.(10分)用配·方·法·化二次型f= 4x1x2+2x1x3+2x2x3为标准形,并写出所用的可
逆线性变换矩阵.
15.(10分)设A为n阶方阵,x为n维向量(n≥2).证明:
(1)若存在非负整数k使得Akx=0且Ak+1x=0,则x,Ax,···,Akx线性无关;(2)r(An)=r(An+1).
16.(10分)(1)试构造一个4阶实正交矩阵,使得它的所有16个元素的绝对值都相同.
(2)能否构造一个6阶实正交矩阵,使得它的所有36个元素的绝对值都相同?若能,请构造出.若不能,请说明理由.
