几类递推数列通项公式的常见类型及解法(3)

几类递推数列通项公式的常见类型及解法

242(3an 1 an 2) ∴数列{3an an 1}是以首项为，公比为39342n 1

的等比数列.∴3an an 1=×()， 又 3n 1 an 2 3nan 1 2

93

3an an 1

2(1 2n)

∴ an= . n 1

3

七、an 2 can 1 dan型 （c，d为常数）

形如an 2 can 1 dan的递推数列求通项公式，可通过适当换元，转换成等比数列或等差数列求解.

例7 已知数列 an ，a1=1，a2 2，an 1 3an 2an 1 0(n N，n≥2)，求an.

*

解：∵an 1 3an 2an 1 0 ∴an 1 an 2(an an 1)

∴{an 1 an}是以2为公比，a2－a1为首项的等比数列. ∴an 1 an 2n 1

∴an=(an an 1) (an 1 an 2) (a2 a1) a1 2n 2 2n 3 21 20 1

1 2n 1

1 2n 1 =

1 2

评注：an 2 can 1 dan可以变形为an 2 pan 1 q(an 1 pan)，则可从p+q=c，pq= -d，解得p，q，于是{ an 1 pan}是公比为q的等比数列，这样就可转化为类型六进行求解.

小结：等差数列或等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，也是高考考 查的热点.而主要考查学生分析问题和解决问题的能力，这个能力往往集中在“转化”的水平上.也就是说，把不同的递推公式，经过相应的变形手段，转化成比较熟悉的等差数列或等比数列进行求解.