几类递推数列通项公式的常见类型及解法

几类递推数列通项公式的常见类型及解法

几类递推数列通项公式的常见类型及解法

递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.

一、an 1 an d型 （d为常数）

形如an 1 an f(n)的递推数列求通项公式，将此类数列变形得an 1 an d，再由 等差数列的通项公式an a1 n 1 d可求得an.

例1 已知数列 an 中a1 2,an 1 an 3 n N ，求an的通项公式.

解：∵an 1 an 3 ∴an 1 an 3

∴ an 是以a1 2为首项，3为公差的等差数列. ∴an 2 n 1 3 3n 1为所求的通项公式.

二、an 1 an f(n)型

形如an 1 an f(n)的递推数列求通项公式，可用差分法. 例2 已知数列 an 中满足a1=1，an 1 an n，求an的通项公式. 解：作差an 1 an n，则

a2-a1= -1，a3-a2= -2，a4-a3= -3， ，an an 1 (n 1)，

将上面n-1个等式相加得 an a1 ( 1) ( 2) ( 3) +[ (n 1)]

n2 n 2

∴ an=为所求的通项公式.

2

三、an 1 q an型

形如an 1 q an的递推数列求通项公式，将此类数列变形得

an 1

q，再由等比数列的通项公式an a1 qn 1可求得an. an

例3 已知数列 an 中满足a1=1，an 1 2an，求an的通项公式. 解：∵an 1 2an ∴

an 1

2 an

∴ an 是以a1 1为首项，2为公比的等比数列.