云书歌谣工程结构抗震学第四章 桥梁地震反应分析
赵冠远北京交通大学土木建筑工程学院
本章教学内容反应谱分析方法 动力时程分析方法(线性/非线性) 静力弹塑性分析方法(Pushover)
反应谱分析方法
1 SDOF体系在地震作用下动力方程x(t )
c m
地震输入(已知)xg (t )地震位移时程 地震加速度时程(已知)
kxg (t )
xg (t )
结构响应(待求)x(t )相对位移
xg (t )
xg (t ) x(t ) 绝对位移
外荷载：0
1 SDOF体系在地震作用下动力方程x(t )
FD (t )c
FI (t ) FS (t )
m
恢复力 FS kx(t )k
阻尼力xg (t )
FD cx(t )FI m x(t ) xg (t )
惯性力
应用D’Alembert原理
fI fD fS 0
1 SDOF体系在地震作用下动力方程x(t )
c m
FD (t )
FI (t ) FS (t )
k
mx cx kx mxgxg (t )
x 2 x x xg (t )2
2 SDOF体系地震反应数值计算方法Duhamel积分方法 线性加速度法 中心差分法 Newmark-β法 Wilson-θ法
2.1 Duhamel积分求解P(t )
瞬时冲量S=P.dt作用在静止物体上 初速度 v0=S/mdt
初位移 x0=0
x(t )
t
根据有阻尼自由振动通解，有
t
x(t ) e t
Pdt ' sin t ' m
瞬时冲量引起的自由振动
2.1 Duhamel积分求解P(t ) mxg (t )P(t )
任一动力荷载加载过程可以看作由一 系列的瞬时冲量组成，根据线性微分 方程的特性，可以运用叠加原理，把 各个瞬时冲量单独作用下的动力反应 P( )d 求出，然后再叠加求得总的动力反应
x(t )
d
t
微冲量
P( )d t
t t
dx(t ) e (t )
P ' sin t d ' m
x(t ) e0
t
( t )
P ' sin t d ' m
2.1 Duhamel积分求解x(t ) 1
P(t ) mxg (t )
'
( t ) ' x ( t ) e sin g t d 0 t
t
' x(t ) ' xg (t )e (t ) cos d t 0
2 t ' x(t ) xg (t ) ' xg (t )e (t ) sin d t 2 0tan 1 2由于地面运动加速度是极不规则的，上式一般无闭合解，需 要借助数值积分方法求解，如Simpson法则(参见《结构动 力学》(R.W. Clough & J. Penzien))
2.2 线性加速度法求解x( ) x(t ) x(t ) t
x(t ) 假设加速度在[t,t+Δ
t]
加速度 x(t ) x(t ) 2 x( ) x(t ) x(t ) t 2
内线性变化 t 2 x(t ) 2 t t 3 x(t ) x(t ) t x(t ) x(t ) 2 6 x(t ) x(t ) t x(t )
速度
x(t ) x(t ) 3 x( ) x(t ) x(t ) x(t ) 2 t 6
2
位移
x(t )
6 6 x ( t ) x(t) 3x(t) 2 t t x(t ) 3 t x(t )
x(t) 3x(t) x(t) t 2 x(t ) t t
t
t
2.2 线性加速度法求解mx cx kx mxg m x c x k x m xg上式写为
6 6 x(t ) 2 x(t ) x(t) 3x(t) t t 3 t x(t ) x(t) 3x(t) x(t) t 2
kd x Fd6 3 kd k 2 m c t t
其中
t 6 Fd m xg m x(t ) 3x(t ) c 3x(t ) x(t ) 2 t
2.3 线性加速度法的数值稳定性稳定性的含义，当满足稳定性条件时，计算值u为有限值；当 不满足稳定性条件时，随着t→∞,u→∞。稳定性条件 t 0.1 T
2.3 Newmark-β法求解
2.4 Newmark-β法求解
2.5 Newmark-β法的求解步骤
2.6 Newmark-β法的数值稳定性
2.7 编程算例(Newmark-β)
计算算例——SDOF系统在ElCentro地震作用下的反应分析
结果图形输出
计算结果
