风息雾散山东大学 自动控制理论课件
第五章 根 轨 迹 法反馈控制系统的全部性质, 反馈控制系统的全部性质,取决于系统的闭 环传递函数。闭环传递函数的分子一般是s 环传递函数。闭环传递函数的分子一般是 的低 阶多项式，闭环零点容易求得。对高阶系统， 阶多项式，闭环零点容易求得。对高阶系统，用 解析法求闭环极点是比较困难的。 解析法求闭环极点是比较困难的。 1948年 W.R.Evans提出了 1948年，W.R.Evans提出了直接由开环传递函 提出了直接由开环传递函 数确定系统闭环特征根的图解法-根轨迹法。 数确定系统闭环特征根的图解法-根轨迹法。利 用这一方法可以分析系统的性能， 用这一方法可以分析系统的性能，确定系统应有 的结构和参数。 的结构和参数。 根轨迹法的基础是系统的传递函数， 根轨迹法的基础是系统的传递函数，这一 方法仅使用于线性系统。 方法仅使用于线性系统。
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§5-1 根轨迹的基本概念一.根轨迹(The Root Locus) 根轨迹是开环系统某一参数由零变化到无穷大时， 是开环系统某一参数由零变化到无穷大时， 闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。 闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。 图5-1为单位反馈的二阶系统 为单位反馈的二阶系统K G( s) = s(0.5 s + 1)
K1 2K = = s (s + 2 ) s(s + 2 )
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K G( s) = s(0.5 s + 1)
K1 2K = = s (s + 2 ) s(s + 2 )
K1 = (s p1 )(s p2 )
根轨迹增益： 两个开环极点 : p1 = 0, p2 = 2; 根轨迹增益： K 1 = 2 KK1 C ( s) Φ( s ) = = 2 R( s ) s + 2 s + K 1
D( s ) = s 2 + 2 s + K 1 = 0
特征根
s 1, 2 = 1 ± 1 K 1
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D( s ) = s 2 + 2 s + K 1 = 0
特征根 : s1, 2 = 1 ± 1 K 1
K1 s ( s + 2)
K1=0时， s1=0, s2= -2; 时 0<K1<1 时，两个负实根； < 两个负实根； K1=1 时，s1= s2= -1,重根 ， 1<K1<∞时，s1,2=-1±j√K1 -1 < 时 - ±注意：一组根对应于同一个 注意：一组根对应于同一个k1; k1一变，一组根变； 一变，一组根变； k1一停，一组根停； 一停，一组根停；
K1: 0 ~ ∞开环极点 : p1 = 0, p2 = 2;jω ω σ -2 -1 -1 0
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特征根
s1, 2 = 1 ± 1 K 1
K1与特征根的关系： 与特征根的关系：K 1 = 0时， s1 = 0,s 2 = 2
K 1 = 1时， s1 = 1,s 2 = 1K 1 = 2时，s1 = 1 + j,s 2 = 1 jK 1 = ∞时， s1 = 1 + j∞,s 2 = 1 j∞
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分析： 图5-2分析： 分析 (1) 稳定性 0<K1<∞时, 系统恒稳定。 系统恒稳定。 (2) 稳态性能 型系统， 属Ⅰ型系统，r(t)=1时, ess=0, 时 ， 可以从根轨迹上对应的K 而Kv可以从根轨迹上对应的 1值求 得。 (3) 动态性能 当0<K1≤1时，闭环特征根为负实根，阶跃 时 闭环特征根为负实根， 响应为非周期过程； 响应为非周期过程； 当K1>1时，为共轭复根，系统呈欠阻尼
状 时 为共轭复根， 阶跃响应为衰减振荡过程。 态，阶跃响应为衰减振荡过程。
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K1为可变参量绘制的根轨迹,称为常规根轨迹. 为可变参量绘制的根轨迹,称为常规根轨迹. 本例系统的根轨迹是通过解析求解特征方 程的根做出的， 程的根做出的 ， 这对于高阶系统一般是难以实 现的。 现的 。 W.R.Evans研究了系统的闭环特征方程 研究了系统的闭环特征方程 与开环传递函数之间的关系， 指出， 与开环传递函数之间的关系 ， 指出 ， 通过系统 的根轨迹方程， 由系统开环零极点的分布可以 的根轨迹方程 ， 按照一定的规则直接绘制出闭环系统的根轨迹。 按照一定的规则直接绘制出闭环系统的根轨迹 。
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二、根轨迹方程 设系统方框图如图5-3所示， 设系统方框图如图 所示， 所示 其闭环传递函数为C ( s) G( s) Φ( s ) = = R( s ) 1 ± G ( s ) H ( s )m
R(s) ±
G(s) H(s)
C(s)
(5 4)
图5-3 反馈控制系统
式中开环传递函数G(s)H(s)可化为如下形式 可化为如下形式 式中开环传递函数G( s) H ( s) = K1 ∏ (s z j )j =1
∏ (s p )i =1 i
n
( 5 5)
式中, 为系统的开环根轨迹增益: 式中 K1为系统的开环根轨迹增益 zj (j=1,2 …,m) 为系统的开环零点； 为开环极点。 为系统的开环零点；pi (i=1,2…,n)为开环极点。 为开环极点
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系统闭环特征方程 根轨迹方程
D(s)=1±G(s)H(s)=0 (s)H
G ( s ) H ( s ) = m1K1∏ (s z j )j =1 m
或
∏ (s p )i =1 i
n
= m1
(5 7 )
式中“ 中的负反馈极性； 式中“-”号对应于图5-3中的负反馈极性； 号对应于图 中的负反馈极性 “+”号对应于图5-3中的正反馈极性。 号对应于图 中的正反馈极性。 中的正反馈极性 因为G(s)H(s)为复数 为复数， 因为G(s)H(s)为复数，根据等式两边的幅值 和相角应分别相等的条件，可将式( ) 和相角应分别相等的条件，可将式(5-7)改写 成两个方程， 成两个方程，这样就得到了绘制根轨迹方程的两 个基本条件， 个基本条件，即
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根轨迹的幅值条件K1 ∏ s z jj =1 m
∏ s pi =1
n
=1
或
K1 =
∏ s p ∏ s zj =1 i =1 m
n
i
(5 8)
i
j
负反馈系统根轨迹的相角条件
∑ ∠( s z ) ∑ ∠( s p ) = ± (2q + 1)πj =1 j i =1 i
m
n
( 5 9)
正反馈系统根轨迹的相角条件
∑ ∠( s zj =1
m
j
) ∑ ∠ ( s p i ) = ± ( 2 q )πi =1
n
( 5 10 )
式中 , q = 0 , 1, 2 , L ( 全部为正整数 )。
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K1 =m n
∏ s p ∏ s zj =1 i =1 m
n
i
(5 8)
j
∑ ∠( s z ) ∑ ∠( s p ) = ± (2q + 1)πj =1m
