几种主要的椭球公式

§6.3 几种主要的椭球公式

过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，法截面同椭球面交线叫法截线（或法截弧）。包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面，相应有无数多个法截线。椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。

6.3.1子午圈曲率半径

子午椭圆的一部分上取一微分弧长DK?ds，相应地有坐标增量dx，点n是微分弧dS的曲率中心，于是线段Dn及Kn便是子午圈曲率半径M。

任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：

M?dS dB子午圈曲率半径公式为：

M?M?

a(1?e)W32

cN 或 M?V3V2M与纬度B有关．它随B的增大而增大，变化规律如下表所示：

B B?0? M0?a(1?e2)?M c(1?e?)23说 明 在赤道上，M小于赤道半径a 此间M随纬度的增大而增大 在极点上, M等于极点曲率半径c 0??B?90? B?90? a(1?e2)?M?c M90?a1?e2?c 6.3.2卯酉圈曲率半径

过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。在图中PEE?即为过P点的卯酉圈。卯酉圈的曲率半径用N表示。

为了推导N的表达计算式，过P点作以O?为中心的平行圈PHK的切线PT，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内。因卯酉圈也垂直于子午面，故PT也是卯酉圈在P点处的切线。即

所以PT是平行圈PHK及卯酉圈PT垂直于Pn。

PEE?在P点处的公切线。

卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：

1

N?N?a Wc V6.3.3 任意法截弧的曲率半径

子午法截弧是南北方向，其方位角为0°或180°。卯酉法截弧是东西方向，其方位角为90°或270°。现在来讨论方位角为A的任意法截弧的曲率半径RA的计算公式。 任意方向A的法截弧的曲率半径的计算公式如下：

RA?NN?

1??2cos2A1?e?2cos2Bcos2A （7-87）

6.3.4 平均曲率半径

在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适当半径的球面。取过地面某点的所有方向RA的平均值来作为这个球体的半径是合适的。这个球面的半径——平均曲率半径R：

R?MN

或

R?bcNa???W2V2VW2(1?e2)

因此，椭球面上任意一点的平均曲率半径R等于该点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何平均值。 6.3.5 子午线弧长计算公式

子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合；而赤道又把子午线分成对称的两部分。 如图所示，取子午线上某微分弧PP??dx，令P点纬度为B，P?点纬度为B?dB，P点的子午圈曲率半径为M，于是有： dx?MdB

从赤道开始到任意纬度B的平行圈之间的弧长可由下列积分求出：

X??MdB

0B式中M可用下式表达：

M?a0?a2cos2B?a4cos4B?a6cos6B?a8cos8B

2

a0?m0?a2其中： a4a6a8m23535??m4?m6?m8???2816128?m2m4157????m6?m8?223216?m437???m6?m8? 81632?m6m8????3216?m??8?128?经积分，进行整理后得子午线弧长计算式：

aaaaX?a0B?2sin2B?4sin4B?6sin6B?8sin8B

2468为求子午线上两个纬度B1及B2间的弧长，只需按上式分别算出相应的X1及X2，而后取差：?X?X2?X1，该?X即为所求的弧长。

克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公式：

X?111134.861B??16036.480sin2B?16.828sin4B?0.022sin6B

X?111134.861B??32005.780sinBcosB?133.929sin3BcosB?0.697sin5BcosB

1975年国际椭球子午线弧长计算公式：

X?111133.005B??16038.528sin2B?16.833sin4B?0.022sin6B

X?111133.005B??32009.858sinBcosB?133.960sin3BcosB?0.698sin5BcosB

6.3.6 底点纬度计算

在高斯投影反算时，已知高斯平面直角坐标（X，Y）反求其大地坐标（L，B）。首先X当作中央子午线上弧长，反求其纬度，此时的纬度称为底点纬度或垂直纬度。计算底点纬度的公式可以采用迭代解法和直接解法。 （1）迭代法

在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设

B1.8611 f?X/111134以后每次迭代按下式计算：

Bif?1?(X?F(Bif))/111134.8611

F(Bif)??16036.4803sin2Bif?16.8281sin4Bif?0.0220sin6Bif

重复迭代直至Bif?1?Bif??为止。

在1975年国际椭球上计算时，也有类似公式。

（2）直接解法 1975年国际椭球：

??X/6367452.133

3

Bf?B?{50228976?[293697?(2383?22cos2?)cos2?]cos2?}?10?10?sin?cos?

克拉索夫斯基椭球： ??X/6367588.4969

Bf???{50221746?[293622?(2350?22cos2?)cos2?]cos2?}

6.3.7 大地线

椭球面上两点间的最短程曲线叫做大地线。在微分几何中，大地线（又称测地线）另有这样的定义：“大地线上每点的密切面（无限接近的三个点构成的平面）都包含该点的曲面法线”，亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合”。因 假如在椭球模型表面A,B两点之间，画出相对法截线如图所示，然后在A,B两点上各插定一个大头针，并紧贴着椭球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋，并设橡皮筋和椭球面之间没有摩擦力，则橡皮筋形成一条曲线，恰好位于相对法截线之间，这就是一条大地线。由于橡皮筋处于拉力之下，所以它实际上是两点间的最短线。

在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。

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