花香满园图中的每个数都加上同一数，那么方阵图中每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数相加的和仍然相等，这样形成一个新的方阵图．根据图2、图3、图4中给出的数，对照原来的方阵图，你能完成图2、3、4的方阵图吗？
1 2 ?3 ?4 0 4 3 ?2 ?1 图1
3 4 ?1
?2
?3
?7
?4 图2
图3
图4
【例52】 “九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上
经常研究这一神话．
① 现有1、2、3、4、5、6、7、8、9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等．每一列的三个数的和为多少？给出一种填法．
② 通过研究问题①，利用你发现的规律，将3、5、?7、1、7、?3、9、?5、?1，这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．
图1
【例53】 n个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，或者换
成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差．例如：
1 2
5 3＋2＋4=9 3
4 1
0 -2007
图2
1 2
5
9
4
2006 1 2
5
3
4
3-2-4=-3 -3 2
1
5 4
⑴ 能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由．
1000
3
⑵ 能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由．
6
26 2006 2
0
6
0
⑶ 能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由．
2.1.1找规律及定义新运算 题库·学生版 page 16 of 21
206 1 2
5
3
4
5 3
1
9 7
版块二、定义新运算
【例54】 我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以
相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：1?23?0?22?1?21?1?20?11．按此方式，则将十进制数6换算成二进制数应为 ．
【例55】 计算机在进行数学运算时采用的是二进制，二进制的所有数都用字符0和1的组合表示，二进制数
与十进制数的对应关系如下表 5 6 7 8 9 十进制 0 1 2 3 4 二进制 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001
二进制数的加法逢二进一，如：1?0?1，1?1?10，10?0?10，10?1?11，11?0?11，……． ① 观察上表，十进制的10怎么表示？ ② 二进制的两个数相加：10?11?____．
③ 若十进制数3与二进制数x的和为二进制数111，即3?x?111，求二进制数x．
【例56】 读一读：式子“1?2?3?4?5??100”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比
?100”表示为?n，这
n?1100较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1?2?3?4?5?里“?”是求和符号． 例如：1?3?5?7?9?33333（2n?1）； ?99，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为?n?150又如1?2?3?4?5?6?7?8?9?10可表示为?n3．
33333n?110通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．
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⑴2?4?6?8?10?5n?1?100(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符合可表示为 ．
⑵计算?（n2?1）? ．(填写最后的计算结果)
【例57】 定义：a是不为1的有理数，我们把
数是
11称为a的差倒数．如：2的差倒数是??1，?1的差倒
1?21?a111?．已知a1??，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依次
1?(?1)23类推，则a2009? ．
【例58】 我们常用的数是十进制数，如4657?4?103?6?102?5?101?7?100，数要用10个数码（又叫数字）：
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如
二进制中110?1?22?1?21?0?20等于十进制的数6，110101?1?25?1?24?0?23?1?22?0?21 ?1?20等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？
【例59】 （4级）(第20届希望杯培训试题)若用汉字的四角号码作为密码来传送“希望杯”这三个字，即是
“402207104199”．现在改换成新的密码，规则是：原码千位、十位不变，将百位、个位分别变成关于9的补码，即0变成9；……．则“希望杯”这三个字的新密码是 ． 1变成8；2变成7；
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【例60】 在密码学中，你直接可以看到的内容为明文(真实文)，对明文进行某种处理后得到的内容为密文，
现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的26个字母(不论大小写)依次对应1，2，3，……26这26个自然数，见以下表格：
a b c d e f g 7 t 1 n 14 2 o 15 3 p 4 q 17 5 r 6 s h 8 u i 9 v 22 j k l m 10 w 11 x 24 12 y 25 13 z 16 18 19 20 21 23 26 x?1x；若x能被2整除，则x'??13
22 将明文字母对应的数字x按以上公式计算得到密文字母对应的数字x'，比如明文字母为g，则有 现给出一个公式：当1?x?26时，若x不能被2整除，则x'?7?1?4?d，所以明文字母g对应的密文字母为d. 2 ⑴按照上述规定，将明文good译成的密文是什么？写出你的计算过程； g?7? ⑵按照上述规定，请你写出由密文字母x'得到明文字母x的公式；
⑶按照⑵中得到的公式，密文gawqj所代表的明文单词是什么？(直接写出结果)
【例61】 在密码学中,称直接可以看到的内容为明码, 对明码进行某种处理后得到的内容为密码．对于英文，
人们将26个字母按顺序分别对应整数0至25．现有4 个字母构成的密码单词,记4个字母对应的数
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