红尘袭香2.3 变量间的相关关系
[课时作业] [A组 学业水平达标]
1．如图是根据x，y的观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)得到的散点图，可以判断变量x，
y具有线性相关关系的图是( )
A．①② C．②③
B．①④ D．③④
解析：若变量x，y具有线性相关关系，那么散点就在某条直线附近，从左上到右下，或从左下到右上，故选D. 答案：D
2．已知x，y取值如表：
x y 0 1.3 1 4 3m 5 5.6 6 7.4 m ^画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为y＝x＋1，则m的值(精确到0.1)为( ) A．1.5 C．1.7
B．1.6 D．1.8
^
解析：由题意知，x＝3.2代入回归方程y＝x＋1可得y＝4.2，则4m＝6.7，解得m＝1.675，则精确到0.1后m的值为1.7.故选C. 答案：C
3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( ) ^^
A.y＝0.4x＋2.3 B.y＝2x－2.4 ^^
C.y＝－2x＋9.5 D.y＝－0.3x＋4.4
解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D.且直线必过点(3,3.5)，代入A，B得A正确． 答案：A
1
^^^
4．根据如下样本数据得到的回归方程为y＝bx＋a，则( )
x y ^^
A.a＞0，b＞0 ^^
C.a＜0，b＞0
3 4.0 4 2.5 5 －0.5 6 0.5 7 －2.0 8 －3.0 ^^B.a＞0，b＜0 ^^ D.a＜0，b＜0
解析：把样本数据中的x，y分别当作点的横，纵坐标，在平面直角坐标系xOy中作出散点^^
图(图略)，由图可知b＜0，a＞0.故选B. 答案：B
5．登山族为了了解山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：
气温(℃) 山高(km) 18 24 13 34 10 38 －1 64 ^^由表中数据，得到线性回归方程y＝－2x＋a，由此估计山高为72(km)处气温的度数为( ) A．－10 C．－6
B．－8 D．－4
解析：因为x＝10，y＝40，所以样本中心点为(10,40)，因为回归直线过样本中心点，所^^^
以40＝－20＋a，即a＝60，所以线性回归方程为y＝－2x＋60，所以山高为72(km)处气温的度数为－6，故选C. 答案：C
6．下列说法：①回归方程适用于一切样本和总体； ②回归方程一般都有局限性；
③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围； ④回归方程得到的预测值是预测变量的精确值． 正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．
解析：样本或总体具有线性相关关系时，才可求回归方程，而且由回归方程得到的函数值是近似值，而非精确值，因此回归方程有一定的局限性．所以①④错． 答案：②③
7．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x与身高y进行测量，得到数据(单位均为cm)如表，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计
10
10
2
算得到一些数据：? (xi－x)(yi－y)＝577.5，? (xi－x)＝82.5；某刑侦人员在某案
i＝1
i＝1
2
发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长为26.5 cm，则估计案发嫌疑人的身高为________cm.
10
? xi－x^
解析：回归方程的斜率b＝
i＝1
10
yi－y＝577.5
＝7，x＝24.5，y＝171.5，82.5
? xi－xi＝1
2
^^^
截距a＝y－bx＝0，即回归方程为y＝7x，当x＝26.5时，y＝185.5. 答案：185.5
8．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为__________cm.
解析：设父亲身高为x cm，儿子的身高为y cm，由题意可列表格如下：
x y 173 170 3
170 176 176 182 由表格中数据得x＝173，y＝176，?xiyi＝91 362，
i＝1
3
i＝89 805，则 ?x2i＝1
^91 362－3×173×176b＝＝1， 289 805－3×173^
a＝y－b x＝176－1×173＝3，∴y＝x＋3，当x＝182时，y＝185.
答案：185
9．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y(元)，与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表
^^^
3
n2
n2
n已知? xi＝280，? yi＝45 209，? xiyi＝3 487.
i＝1
i＝1
i＝1
(1)求x，y； (2)求回归方程．
1
解析：(1)x＝×(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，
7
y＝×(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)＝
559
3 487－7×6×
719^
(2)b＝＝，
280－7×364719^55919
∴a＝－×6＝，
7414^19719∴所求回归方程为y＝x＋. 414
1
7559. 7
5
10．由某种设备的使用年限xi(年)与所支出的维修费yi(万元)的数据资料算得如下结果，?xi＝1
5
2
55
i＝90，?xiyi＝112，?xi＝20，?yi＝25.
i＝1
i＝1
i＝1
^^^(1)求所支出的维修费y对使用年限x的线性回归方程y＝bx＋a； (2)①判断变量x与y之间是正相关还是负相关； ②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少．
n?xiyi－nx y^^
(附：在线性回归方程y＝bx＋a中，b＝
^
^
i＝1
^^
，a＝y－bx，其中x，y为样
ni－nx?x2i＝1
2
本平均值)
4
55
解析：(1)∵?xi＝20，?yi＝25，
i＝1
i＝1
1515
∴x＝?xi＝4，y＝?yi＝5，
5i＝15i＝1
5
?xiyi－5xy^
∴b＝
i＝1
＝5
112－5×4×5
＝1.2， 2
90－5×4
i－5x?x2i＝1
2
^
a＝y－bx＝5－1.2×4＝0.2.
^
∴线性回归方程为y＝1.2x＋0.2.
^
(2)①由(1)知b＝1.2＞0，∴变量x与y之间是正相关．
^
②由(1)知，当x＝8时，y＝9.8，即使用年限为8年时，支出维修费约是9.8万元．
[B组 应考能力提升]
1．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力x 识图能力y 4 3 6 5 8 6 10 8 ^
^4^
由表中数据，求得线性回归方程为y＝x＋a，若某儿童的记忆能力为12，则他的识图能力
5为( ) A．7 C．10
B．9.5 D．12
4＋6＋8＋103＋5＋6＋811^4
解析：由表中数据得x＝＝7，y＝＝，由(x，y)在直线y＝
4425
x＋a上，得a＝－，即线性回归方程为y＝x－.当x＝12时，y＝×12－＝9.5，即他
的识图能力为9.5. 答案：B
2．已知x，y的取值如表所示：
^^
1
10^4
5110
^
45110
x y 2 6 3 4 4 5 ^^13^
如果y与x线性相关，且线性回归方程为y＝bx＋，则b的值为( )
2
5
1
A．－
21C．－
10
1B. 2D.1 10
1^^13^
解析：计算得x＝3，y＝5，代入到y＝bx＋中，得b＝－，故选A.
22答案：A
3．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x 命中率y 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________． 解析：小李这5天的平均投篮命中率
y＝
0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4
＝0.5，可求得小李这5天的平均打篮球时间x＝3.根据表
5
^^^
中数据可求得b＝0.01，a＝0.47，故回归直线方程为y＝0.47＋0.01x，将x＝6代入得6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53. 答案：0.5 0.53
4．某市居民2012～2016年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出y(单位：万元)的统计资料如下表所示：
年份 收入x 支出y 2012 11.5 6.8 2013 12.1 8.8 2014 13 9.8 2015 13.3 10 2016 15 12 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是__________，家庭年平均收入与年平均支出有__________线性相关关系．
解析：5个x值是按从小到大排列的，因此居民家庭年平均收入的中位数是13万元． 以家庭年平均收入x作为横轴，年平均支出y作为纵轴，描点得到散点图如图所示．
观察散点图，这些点大致分布在一条直线的附近，因此家庭年平均收入与年平均支出有较强
6
