童话幻灭4.3 超弹性分析 4.3.1 超弹理论 4.3.1.1 超弹的定义
一般工程材料（例如金属）的应力状态由一条弹塑性响应曲线来描述，而超弹性材料存在一个弹性势能函数，该函数是一个应变或变形张量的标量函数，而该标量函数对应变分量的导数就是相应的应力分量。
上式中：[S]＝第二皮奥拉－克希霍夫应力张量 W＝单位体积的应变能函数 [E]＝拉格朗日应变张量
拉格朗日应变可以由下式表达：[E]＝1/2（[C]-I） 其中：[I]是单位矩阵，[C]是有柯西－格林应变张量
其中[F]是变形梯度张量，其表达式为：
x ：变形后的节点位置矢量 X ：初始的节点位置矢量
如果使用主拉伸方向作为变形梯度张量和柯西－格林变形张量的方向，则有：
其中： J=初始位置与最后位置的体积比 材料在第i个方向的拉伸率 在ANSYS程序中，我们假定超弹材料是各向同性的，在每个方向都有完全相同的材料特性，在这种情况下，我们既可以根据应变不变量写出应变能密度函数，也可以根据主拉伸率写出应变能密度函数。
应变不变量是一种与坐标系无关的应变表示法。使用它们就意味着材料被假定是各向同性的。Mooney－Rivlin和Blatz－Ko应变能密度函数都可以用应变不变量表示，应变不变量可以柯西－格林应变张量和主拉伸率表示出来：
一个根据应量不变量写出来的应变能密度函数如下：
为材料常数，上式是两个常数的Mooney－Rivlin应变能密度函数。
超弹材料可以承受十分大的弹性变形，百分之几百的应变是很普遍的，既然是纯弹性应变，因此超弹性材料的变形是保守行为，与加载路径无关。 4.3.1.2 不可压缩缩性
大多数超弹材料，特别是橡胶和橡胶类材料，都是几乎不可压缩的，泊松比接近于0.5，不可压缩材料在静水压力下不产生变形，几乎不可压缩材料的泊松比一般在0.48至0.5之间（不包含0.5），对这些材料，在单元公式中必须考虑不可压缩条件。在ANSYS程序中，不可压缩超弹单元修改了应变能密度函数，在单元中明确地包含了压力自由度。压力自由度使不可压缩条件得到满足，而不降低求解速度。压力自由度是一种内部自由度，被凝聚在单元内部。
4.3.1.3 超弹单元
有三种单元适合于模拟超弹性材料：
不可压缩单元有HYPE56，58，74和158，这些单元适用于模拟橡胶材料。
可压缩单元有HYPER84和86，HYPER84既可以是4节点矩形也可以是8节点矩形单元，这种单元主要用来模拟泡沫材料。
18X族单元(除LIMK和BEAM单元外，包括SHELL181, PLANE182,PLANE183,SOLID185,SOLID186,和 SOLID187)。18X族单元消除了体积锁定， 既适用于不可压材料，又适用于可压材料。参见《ANSYS Elements Reference》的“Mixed U-P Formulations”。 4.3.2 超弹材料选项
超弹性可用于分析橡胶类材料(elastomers)，这种材料可承受大应变和大位移，但体积改变极微(不可压缩)。这种分析需用到大应变理论[ NLGEOM ,ON]。 图4-13 是一个例子。
图4-13 超弹性结构
在ANSYS超弹性模型中，材料响应总是假设各向同性和等温性。由于这一假设，应变能势函数按应变不变量来表示。除非明确指出，超弹性材料还假设为几乎或完全不可压缩材料。材料热膨胀也假定为各向同性的。
ANSYS在模拟不可压缩或几乎不可压缩超弹性材料时，应变能势函数有几种选项。这些选项均适用于SHELL181,PLANE182, PLANE183, SOLID185, SOLID186, SOLID187 单元。可以通过 TB ,HYPER 命令的 TBOPT 参数进入这些选项。
其中一个选项，Mooney-Rivhlin 选项，也适用于 HYPER56, HYPER58, HYPER74, HYPER158 单元，以及显式动力分析单元 PLANE162,SHELL163, SOLID164。这一选项可通过 TB ,MOONEY 命令进入。
4.3.2.1 Mooney-Rivlin超弹性选项(TB,HYPER)
请注意本小节论述应用Mooney-Rivlin 选项与单元 SHELL181, PLANE182, PLANE183, SOLID185, SOLID186, SOLID187。
如果你想应用Mooney-Rivlin选项于单元HYPER56, HYPER58, HYPER74, HYPER158, PLANE162, SHELL163,SOLID164，则参见§4.3.2.7。
Mooney-Rivlin选项( TB ,HYPER,,,,MOOMEY)是缺省项，允许用户通过 TB 命令的 NPTS 参数定义2，3，5或9个参数。例如，为了定义5参数模型，用户采用 TB ,HYPER,1,,5,MOONEY。
2参数Mooney-Rivlin选项，适用于应变大约为100%(拉)和30%(压)的情况。与其他选项相比，较高阶的Mooney-Rivlin选项，对于较大应变的求解，可得到较好的近似。 下例是3参数Mooney-Rivlin选项的输入实例：
TB,HYPER,1,,3,MOONEY !Activate 3 parameter Mooney-Rivlin data table TBDATA,1,0.163498 !Define c10 TBDATA,2,0.125076 !Define c01 TBDATA,3,0.014719 !Define c11
TBDATA,4,6.93063E-5 !Define incompressibility parameter !(as 2/K, K is the bulk modulus)
对于本选项所需要的材料常数的描述，见《ANSYS Elements Reference》。 4.3.2.2 Ogden选项
Ogden选项( TB ,HYPER,,,,OGDEN)允许用户通过 TB 命令的 NPTS 参数定义无限参数，例如，应用 TB ,HYPER,1,,3,OGDEN 定义3参数模型。
与其他选项相比，Ogden选项通常对大应变水平的求解提供最好的近似。可应用的应变水平可达到700%。较高阶的参数可提供更精确的解。但是这样也可能在拟合材料常数时引起数值困难，而且它要求在用户感兴趣的变形范围内要有足够的数据。 下面是2参数Ogden选项的输入列表:
TB,HYPER,1,,2,OGDEN !Activate 2 parameter Ogden data table TBDATA,1,0.326996 !Define μ1 TBDATA,2,2 !Define α1 TBDATA,3,-0.250152 !Define μ2 TBDATA,4,-2 !Define α2
TBDATA,5,6.93063E-5 !Define incompressibility parameter !(as 2/K, K is the bulk modulus)
!(Second incompressibility parameter d2 is zero)
对于这个选项所需要的材料常数的论述，请参见《ANSYS Elements Reference》。 4.3.2.3 Neo-Hookean超弹性选项
Neo-Hookean选项( TB ,HYPER,,,,NEO)代表应变能势能的最简单形式，可用于应变范围20-30%。下面是Neo-Hookean选项的一个输入列表示例： TB,HYPER,1,,,NEO !Activate Neo-Hookean data table TBDATA,1,0.577148 !Define incompressibility parameter !(as 2/K, K is the bulk modulus)
对于这个选项所需要的材料常数的论述，请参见《ANSYS Elements Reference》。 4.3.2.4 多项式超弹性选项
多项式选项( TB ,HYPER,,,,POLY)允许用户通过 TB 命令的 NPTS 参数定义无限多个参数。例如应用 TB ,HYPER,1,,3,POLY 定义3参数模型。
与高阶Mooney-Rivlin选项相似，本选项对高应变水平可提供较好的近似。
在 NPTS =1，常数 =0，这一选项等价于Neo-Hookean选项(用户可参见§4.3.2.3)。在
NPTS =1时，本选项等价于2参数Mooney-Rivlin选项。在 NPTS =2时，来选项等价于5
参数Mooney-Rivlin选项。在 NPTS =3时，本选项等价于9参数Mooney-Rivlin选项(参见§4.3.2.1)。对于本选项所要求的材料常数，参见《ANSYS Elements Reference》。 4.3.2.5 Arruda-Boyce超弹性选项
Arruda-Boyce选项( TB ,HYPER,,,,BOYCE)可用于直到300%的应变水平。下面是本选项的一个例子:
TB,HYPER,1,,,BOYCE !Activate Arruda-Boyce data table TBDATA,1,200.0 !Define initial shear modulus TBDATA,2,5.0 !Define limiting network stretch
TBDATA,3,0.001 !Define incompressibility parameter !(as 2/K, K is the bulk modulus)
对于本选项所要求的材料常数，参见《ANSYS Elements Reference》。 4.3.2.6 用户定义超弹性选项
用户定义选项( TB ,HYPER,,,,USER)允许用户应用子程序USERHYPER来定义应变能势对应变不变量的导数，参见《ANSYS Guide to User Programmable Features》。 4.3.2.7 Mooney-Rivlin超弹性选项(TB,MOONEY)
请注意这一选项适用于HYPER56,HYPER58,HYPER74,HYPER158,PLANE162, SHELL163,SOLID164 等单元。
如果要应用Mooney-Rivlin选项于SHELL181, PLANE182, PLANE183, SOLID185, SOLID186, SOLID187等单元，请参见§4.3.2.1 。
ANSYS的单元类型HYPER56,HYPER58,HYPER74,HYPER158，应用直到9个Mooney-Rivlin弹性势能函数。如果用户已知2项、3项、5项或9项Mooney-Rivlin常数的值，则可以通过 TB 族命令直接输入，参见《ANSYS Theory Reference》中的Mooney-Rivlin函数。对于这些单元，用户也可以指定材料函数为用户可编程特性，参见《ANSYS Guide to User Programmable Features》。 下面是一个示例：
MP,NUXY,1,0.49999 ! NUXY should be almost equal to, but less than 0.5 TB,MOONEY,1,1 TBDATA,1,0.163498 TBDATA,2,0.125076 TBDATA,3,-0.0047583 TBDATA,4,0.014719 TBDATA,6,0.0003882
! (Constants 5, 7, 8, and 9 default to 0.0 in this example)
对于本选项所要求的材料常数，参见《ANSYS Elements Reference》。
对于任意给定的超弹性材料的Mooney-Rivlin常数，通常在公开文献中查不到。因而，用户可以用 * MOONEY 命令，从一组已知试验数据中自动生成Mooney-Rivlin常数。有时材料制造商可能提供所需的试验数据的一部分或全部，但用户可能发现还需要从试验取得更多的数据。
超弹性材料行为要比金属材料行为复杂得多。超弹性应力-应变关系，通常在拉伸、压缩和剪切变形中明显不同。因此，应用 * MOONEY 命令来生成一般应用的超弹性材料模型时，需要使用所有可能的三种变形模式，即拉伸、压缩和剪切。参见《ANSYS Theory
Reference》中讨论的超弹性测试方法和相应的变形模式。
如果所得到的是一组不完全的数据(如只有单轴拉伸数据)，程序仍然可以确定出可用的超弹性材料特性。然而，在这种情况下，模型变形特征将只限于与测试特征完全一样的。换句话说，测试数据应该代表计算模型中所有变形模式和响应(应变)范围。
上面的劝告只是一个简单的说明。如果用户不知道某一个变形模式或应变范围，就不能准确地预测模型中具有这些变形或应变部分的行为。例如，如用户只知道单轴拉伸测试数据，就不能建立那种有很大剪切变形的模型；如只知道应变值为0%-100%之间的测试数据，就不要建立那种有150%应变的模型。如在计算完成之后用户发现所有测试数据不足以表征模型的响应，唯一的改正办法就是获取更多的测试数据。
用户可用 * MOONEY 命令来自动从实验数据中确定一组Mooney-Rivlin常数。ANSYS确定这些常数以一个数组的形式保存到数据库中。此外，程序还将这些常数以多个 TB 和 TBDATA 命令的格式把Mooney-Rivlin常数写到一个文本文件(Jobrame.TB)中。一旦形成这样的文件，用户就可以在将来的分析用于定义某些相同的Mooney-Rivlin常数。而毋需每次应用 * MOONEY 命令来生成这些常数。 确定和应用Mooney-Rivlin常数
计算并应用Mooney-Rivlin常数有如下五个步骤： 第一步：定义数组 命令：* DIM
GUI：Utility Menu>Parameters>Array Parameters>Define/Edit
用户在使用 * MOONEY 命令(GUI：Main Menu> Preprocessor>Material Props>Mooney-Rivlin>Calc Constants)之前，必须定义数组，在绝大多数情况下，需至少定义六个不同的数组(用户可以给这些数组任意合法的参数名，但为了方便我们在这里应用特定的数组名，如STRAIN、SDTRESS等，用户可以用任何喜欢的有效参数名代替之)。它们是STRAIN, STRESS, CONST, CALC, SORTSN, 和SORTSS。
应变数组(STRAIN) ：这是从材料试验得到的工程应变的数组，分为三列： 第一列：单轴拉伸和/或压缩数据 第二列：等双轴拉伸和/或压缩数据
第三列：剪切数据(平面拉伸和/或压缩数据) 该数组的大小为 N ×3，其中， N 等于在三列测试中数据点个数的最大值。例如，如果从单轴拉伸/压缩数据得到20个数据点，从剪切试验得到10个数据点，则 N =20。即使只用了一种或两种测试，该数组的大小也必须为 N ×3。虽然以升序输入数据点是较好的，但不是必须的。
应力数组(STRESS) ：这是从材料试验得到的工程应力的数组。该数组的大小也是 N ×3，应力数据点的输入顺序必须与应变数据点的输入顺序完全一致。 常数数组(CONST) ：Mooney-Rivlin常数数组的大小为 M ×1， M 为所希望的常数的个数( M 必须为2，5，9三个数之一，如用其它数，则在应用 * MOONEY 命令时，会导致错误信息)。对该数组所作的定义同时就告诉了程序需要生成多少个Mooney-Rivlin常数，* MOONEY 命令自动读取该数组的大小并确定要生成多少个常数，并将其值写入该数组中。
注意 --HYPER84和HYPER86号单元主要是用于模拟可压缩的、泡沫状的高弹体，它们使用Blatz-Ko函数来描述材料特性。将这些单元的KEYOPT(2)设置为1即可选取Blatz-Ko选项，然后用 MP 命令输入合适的 EX 和 NUXY 值，以定义初始的材料剪切模量。对这
