何必提及R并TRT1?RT2L2Aκ1?κ2L???()?RT1?RT2κ1?κ2?A2Lκ1?κ23Aκ2
（3）（2）式被（3）式除，可以得到
串并RT?(9/2)RT
3. 3. 7 半径 a?0.1m的铀球，在原子裂变过程中以体积热产生率 H?5.5?10W?m
-1-1κ?46W?m?K均匀地、恒定不变地散发出热量。已知铀的热导率 ，试问达稳态时，铀球的中心
3-3与外表面间的温度差是多少?
〖分析〗：对于球体内部有恒定不变地均匀散发出热量的传热问题，它达到稳态的条件是：单位时间内，从半径为 r~r?dr 的球壳向外传递的热量，应该等于单位时间内以 r 为半径的球内所产生的总的热量。 假如前者小于后者，铀球内部温度会升高，稳态尚未达到；假如后者小于前者，铀球内部温度会降低，稳态仍然未达到。
〖解〗： 现在以半径为 r~r?dr 的球壳为研究对象，设 r 及 r?dr 处的温度分别为
T(r),T(r)?dT。由于球壳内、外表面之间存在温度梯度，有热量从球壳向外传输，球壳通过的热量
dQdTdT?????A?????4πr2dtdzdr
达到稳态时球壳在单位时间内透过的热流应该等于以 r 为半径的铀球在单位时间内产生的热量
（假如前者小于后者，铀球内部温度会升高，稳态尚未达到），所以
4dTH?πr3????4πr23dr TaH12Ha2aH?T0dT??03?rdrTa?T0??3??2(a?0)??6???0.20K
3. 5. 1 热容为 C 的物体处于温度为 T0 的媒质中，若以 P0 的功率加热，它所能达到的最高温度为 T1 。设系统的漏热遵从牛顿冷却定律，试问加热电路切断后，物体温度从 T1 降为 (T1?T0)/2 时所需的时间是多少?
〖分析〗： 牛顿冷却定律可以表示为
dQ/dt??a(T?T0)
其中 T0 为环境温度。若以 P0 的功率加热，它所能达到的最高温度为 T1 , 这说明 P0 的功率加热恰好被 T1 温度时物体向环境的漏热相平衡,因而温度不再上升，由此可以定出 a。
〖解〗： 从上面的分析可以得到如下关系：
dQ/dt??a(T?T0) ， P0?a(T1?T0)
另外又有 dQ?CdT
将上述3个公式联立后积分，
?t0dt???(T?T0)/21T1C(T1?T0)dT?P0T?T0
t?Cln2?最后得到
T1?T0P0
3. 6. 5 试估计宇宙射线中质子抵达海平面附近与空气分子碰撞时的平均自由程。设质子直径为
10 –15 m ，宇宙射线速度很大。
11
2〖分析〗：这个问题的情况和上一题十分类似，碰撞截面可以利用 σ?πd/4公式，平均自由程可
以利用
?192??1/nσ 公式。这里的 d 就是空气分子的有效直径，简单地认为 σ?10m。而 n
25-3n?10m是空气的分子数密度，简单认为 。
?6〖答〗： 10m。
3. 6. 6 从反应堆 ( 温度T?4000K) 中逸出一个氢分子 ( 有效直径为2.2?10?10m)
?103.6?10m，氩气温度为300 K ) 的以方均根速率进入一个盛有冷氩气 ( 氩原子的有效直径为
25-34.0?10m容器，氩原子的数密度为 。试问：(1) 若把氢分子与氩原子均看作刚性球，它们相碰
时质心间最短距离是多少? （2） 氢分子在单位时间内受到的碰撞次数是多少?
〖分析〗： （1）分子之间相碰时质心间最短距离就是分子碰撞有效直径，对于刚性分子，它就是两个相碰分子的半径之和。（2）在计算分子之间碰撞的平均频率时要用到相对运动平均速率 v12。对于温度相同的同种分子 v12?2v，但是对于异种分子，特别是平均速率不相同的分子之间的碰撞，
v12?2v，我们可以这样利用近似方法得到它。把‘1’ 分子相对于‘2 ’ 分子的相对运动速度矢量
写为
其相对运动速率的平方
22v12?(v12)2?(v1?v2)2?v12?2v1?v2?v2 （1）
v12?v1?v2
取平均值
222v12?v12?2v1?v2?v2?v12?2v1?v2?v2 （2）
上式最右边第二项表示一个分子的速度在另一个分子速度方向上的投影的平均值的2倍，而
v1?v2?v1v2cos??v1v2?cos? （3）
222v12?v12?v2?v12?v2
因为（3）式中的余弦函数是偶函数，它的平均值为零，所以（1）式可以表示为
又有如下近似条件可以利用
v212??v?1222222v?(v)v?(v)12，1，2
所以
利用这一公式可以计算相对运动平均速率。 效直径
dH-A?1.1?10v12?(v1)2?(v2)2（4）
〖解〗：（1）对于刚性分子，氢分子与氩原子相碰时质心间最短距离也就是氢分子与氩原子碰撞的有
?10m?1.8?10?10m?2.9?10?10m （5）
（2）从反应堆中逸出的一个氢分在单位时间内受到的氩原子平均碰撞总次数为
ZH-A?nAσH-AvH-A （6） 在上面的式子中，所有下标H表示是氢分子的物理量，所有下标A表示氩原子的各物理量，下标H-H表示氢分子相对于氢原子的各物理量，下标H-A表示氢分子相对于氩原子的各物理量。显然，
2σH-A?πdH-A/4
（7）
因为已知氢分子是以方均根速率从反应堆逸出，所以
vH?3kTHπmH （8）
利用（4）式可以得到分子束中的氢分子相对于氩原子的平均速率为
12
3kTH8kTA?mHπmA （9）
?27现在已经知道 TH?4000K，TA?300K，mH?2?1.67?10kg，mA?40?1.67
?10?27kg，nA?4.0?1025m-3。将上述数据以及（5）式、（7）式、（9）式一起代入（6）式可以得到
vH-A?vH?vA?22氢分子在单位时间内受到的平均碰撞总次数
ZH-A?7.5?1010s-1
3. 7. 1 某种气体分子的平均自由程为 10 cm ，在10 000 段自由程中，（1）有多少段长于
10 cm ?（2）有多少段长于50 cm ? （3）有多少段长于5 cm 而短于10 cm ? （4）有
多少段长度在 9.9 cm 与10 cm 之间? （5）有多少段长度刚好为10 cm ?
〖分析〗：以下两个有关概率的概念是等价的：“一个分子自一次碰撞后又行进路程 x而还没有被碰撞的概率”；“在许多段长度不同的自由程中，长度大于自由程 x的概率”。因此，分子按照自由程的分布
N?N0exp(?x/?)
也可以理解为：在N0 段自由程中，长度大于 x 的自由程数为 N。
〖解〗：（1）在10 000 段自由程中，其自由程长于10 cm 的段数为
N1?10000exp(?10/10)?3679
（2）在10 000段自由程中，其自由程长于50 cm的段数为
N2?10000exp(?50/10)?67
（3）在10 000段自由程中，其自由程长于5 cm，短于10 cm 的段数为
N3?10000?[exp(?5/10)?exp(?10/10)]?2387
（4）因为 (10.0?9.9)/10?0.01??1，所以在10 000段自由程中，自由程长度在 9.9 cm 与10 cm之间的段数为
N4?10000exp(?10/10)?0.01?37
（5）不能这样提问，因为按照概率分布函数（ 即随机变量为连续变量的概率分布 ）的概念，只存在随机变量在某一范围内的概率，而不存在随机变量为某一确定数值的概率。
3. 7. 3 由电子枪发出一束电子射人压强为 p的气体中，在电子枪前相距 x 处放置一收集电极，用来测定能自由通过 ( 即不与气体分子相碰 ) 这段距离的电子数。已知电子枪发射的电子流强度为100 ?A，当气压 p1?100Pa、x = 10 cm 时，到达收集极的电子流强度为 37 ?A。(1) 电子的平均自由程为多大 ? (2) 气压降到 p2?50Pa 时，到达收集极的电子流强度是多少?
〖分析〗： 由于电子枪发射的电子流强度为100 ?A， 在气压 p1?100Pa、x = 10 cm 时，到达收集极的电子流强度为 37 ?A，说明有 [（100－37）/100 ]×100 % 的电子在
10 cm 以前被碰。而 （ 37 / 100 ）则是在10 cm 处电子的残存概率。由此可以求出 p1?100Pa 时电子的平均自由程为 ? ；同时也可以求出气压降到 p2?50Pa 时的平均自
''由程为 ?。当气压降到 p2?50Pa 时在10 cm 处电子的残存概率可以由 ? 求得，而电子
的残存概率是直接和到达收集极的电子流强度相对应的。
〖解〗：（1）设电子的平均自由程为
? 。则电子束行进 x 距离时的残存概率为
xP(x)?exp(?),?
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因而有：
P(10)?得到电子的平均自由程为
（2）因为
??10cm。
3710?exp(?)100?
??kT2σp, 说明温度相同时 ? 和 p 成反比。而 p1?2p2。气压降到
p2?50Pa 时电子的平均自由程为
?'?2??20cm
'''x?10cm?P(10)?exp(?10/?)?exp(?0.5) 在平均自由程为 时，在 处的残
I'P'(10)exp(?0.5)??37μAP(10)exp(?1)
从而求出电子流强度
I'?61μA
第四章
VV4.2.1 1mol气体作准静态等温膨胀，由初体积 i,m 变成终体积 f,m，试计算这过程中所做的
功。若物态方程式是
（1）p(Vm?b)?RT （ R、b 是常数 ）
B）Vm [ R?常数，B?f(T) ] （2）
〖解〗： （1）因为 p(Vm?b)?RT，即 p?RT/(Vm?b)。
Vf,m?bVf,mVf,mRT?RTlnW??pdVm??dVmVi,mV,miV?bVi,m?b m
BRTBRTpVm?RT（1?）p??2Vm，即 VmVm, 所以 （2）因为
pVm?RT（1?W??Vf,mVi,mVf,mBRTBRTRTBRT??pdVm??(?2)dVm?RTlnV,miVVVVi,m Vmi,mf,mmVf,m4.5.1 图表示有一除底部外都是绝热的气筒，被一位置固定的导热板隔成相等的两部分 A 和 B ，其中各盛有一摩尔的理想气体氮。今将 334.4 J 的热量缓慢地由底部供给气体，设活塞上的压强始终保持为 0.101MPa，求 A 部和 B 部温以自由滑动的绝热隔板， 重复上述讨论。
〖分析〗：1，若隔板的位置是固定的而且是导热的，则B部吸收热量后按照等压过程变化；A 部既吸收热量，又向B 部放热，同时它按照等体过程变化。A部吸收的热量等于A部内能的增加加上向B部释放的热量。 2， 若隔板是可以自由滑动的而且是绝热的，则A部吸收热量后按照等压过程变化；B部不吸收热量，也不做功（ 因为它通过活塞和外界相连接，它的压强始终和外界相等 ），按照热力学第一定律，其内能不变，
状态也不变。A部吸收的热量全部用于A 部内能的增加和它对外作的等压功。
度的改变以及各吸收的热量( 导热板的热容可以忽略 )。若将位置固定的导热板换成可
(dQ)B。〖解〗：（1）隔板是固定的并且是可导热的。设 A部和 B部净吸收的热量分别为 (dQ)A、 A 部在定体条件下既吸热又放热，但是其净吸收的热量是 (dQ)A。而 B部是在定压条件下吸热，其
吸的热等于焓的增加。注意到A 部和 B 部的气体都是1摩尔。我们规定：下标“V”或者“p”表
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示定体积过程或者定压过程，下标“m”表示是1摩尔的物理量，则
(dQ)A?(dQ)V?(dUm)V?CV,mdT(dQ)B?(dQ)P?(dHm)P?CP,mdT
A 部从加热器吸收的热量为
(dQ)A?(dQ)B?(CV,m?Cp,m)dT?(2CV,m?R)dT?6RdT
两边积分得： ?Q?6R??T ?T?6.7(K)
这就是A 部的温度改变。因为隔板是导热的，B 部的温度改变和A 部相等。
下面求A部和B部净吸收的热量。
(dQ)A?CV,mdT?(5/2)RdT
两边积分 ?QA?(5/2)R?TA?139J
(dQ)B?Cp,mdT?(CV,m?R)dT?(7/2)RdT两边积分
?QB?(7/2)R?TB?195J
（2）若隔板换成可以自由滑动的绝热隔板，则A部和B部的压强始终相等，并且等于大气压强，这时
(dQ)A?(dH)p?Cp,mdT?(7R/2)dT?QA?(7/2)R??TA
A部净吸收的热量
A部的温度改变
?QA?334.4J
?TA??Q/(7R/2)?11.5K
对于B部，由于隔板是绝热的，所以 (dQ)B?0， ?QB?0 。 B部状态不变化，其温度不变。
4. 5. 5 室温下定量理想气体氧的体积为 2.3l（升），压强为 0.101MPa，经过某一多方过程后体积变为 4.1l，压强为 0.050MPa。试求：(1) 多方指数 (4) 氧膨胀时对外界所作的功。设氧的 CV.,m?5R/2。。
〖解〗： （1）多方过程方程为 pV?C，两边取对数，则有
nn；(2) 内能的变化；(3) 吸收的热量；
n?（2）?u?νCV,m(T2?T1)，而
ln(p1/p2)?1.2ln(V2/V1) （1）
p2V2?νRT2， p1V1?νRT1， （3）
由此得到
?u??63J （ 内能减少 ） （4）
（3）多方过程热容
Cn,m?CV,m?R/(n?1) （5）
多方过程中吸收的热量
Q?νCn,m(T2?T1) （6）
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