控制吥住の情绪表3 二阶自回归过程yt?2?0.7yt?1?0.2yt?2?ut的一个实现
t
Yt
t
Yt
t
Yt
t
Yt
1 19.69977 26 16.9794 51 16.25857 76 21.44384 2 18.51215 27 19.30668 52 18.56325 77 19.84629 3 19.14272 28 19.77623 53 16.96622 78 18.62228 4 20.37881 29 22.08035 54 16.93543 79 19.71618 5 21.29206 30 20.75659 55 18.00576 80 20.16418 6 22.71334 31 22.60714 56 18.45783 81 22.26385 7 19.97416 32 20.36391 57 19.39624 82 23.06129 8 20.2904 33 21.31512 58 19.86467 83 23.89958 9 21.29313 34 21.89556 59 18.41267 84 23.45492 10 19.87657 35 23.50883 60 17.74607 85 23.20031 11 19.48202 36 22.75077 61 18.79877 86 23.3849 12 17.9223 37 22.10351 62 19.03099 87 22.98398 13 16.5951 38 22.69775 63 18.14161 88 21.71109 14 16.2234 39 21.9278 64 18.26438 89 20.01975 15 15.90189 40 22.64662 65 18.54492 90 21.18438 16 14.25808 41 20.79401 66 19.19212 91 21.27724 17 14.59311 42 20.2379 67 19.28218 92 21.74885 18 14.66274 43 18.80376 68 18.42499 93 21.69312 19 15.31739 44 18.84733 69 20.63878 94 20.50802 20 15.28923 45 18.92141 70 20.61934 95 21.93243 21 15.43895 46 19.04257 71 20.63353 96 21.14309 22 15.49487 47 18.79136 72 21.39718 97 20.34673 23 17.27684 48 21.15697 73 21.96674 98 19.6502 24 17.10748 49 18.82567 74 21.01962 99 19.39549 25 17.24445 50 18.67288 75 20.18389 100 19.05352
用计量经济学软件EViews可得样本自相关函数和偏自相关函数如表4
表4 一个人造时间序列的样本自相关函数和偏自相关函数
k 1 2 3 4 5 6 7 8
?k ??k 0.873
0.141 -0.174 0.031 -0.151 -0.071 -0.030 0.057
k 11 12 13 14 15 16 17 18
?k ??k -0.169
-0.110 -0.087 0.032 -0.057 -0.033 0.231 -0.158
k 21 22 23 24 25 26 27 28
?k ??k 0.119
-0.082 0.119 0.096 -0.065 -0.140 -0.108 0.013
0.873 0.795 0.679 0.597 0.479 0.378 0.276 0.210 -0.018 -0.104 -0.189 -0.247 -0.316 -0.364 -0.351 -0.365 -0.293 -0.284 -0.224 -0.181 -0.129 -0.107 -0.081 -0.057
9 10
0.145 0.004 0.074 -0.107 19 20 -0.341 0.024 -0.345 -0.065 29 30 -0.016 0.080 -0.012 -0.060
从表4可知，样本自相关函数是拖尾的。由于当显著性水平为5%时，偏自相关函数在k?1处是显著的(因为
0.9731100?9.72?2)，当显著性水平为16%时，
偏相关函数在k?2时的值才是显著的，当显著性水平为10%时，偏相关函数在当k?3时即使显著性水平很低(即代表显著性水平的?很k?3时的值是显著的，
大)，偏相关函数的值也是不显著的，这说明自相关函数至少在k?4处断尾，所以表3中的序列是来自AR过程，而偏相关函数在k?2和k?3处的值实际上是处在显著与不显著之间，因此，我们可以说表4所表示的时间序列可能来自AR(1)、AR(2)或者AR(3)，如果采用中庸之道，则可以认为它来自AR(2)，这就与它的产生机制相吻合了。
表3所代表的时间序列的图形如图6所示。
242220181614102030405060708090100
图6 自回归过程Yt?2?0.7Yt?1?0.2Yt?2?ut产生的典型序列
五、有限阶自回归过程的估计 1、AR?p?过程的Yule-Walker估计
AR?p?模型的自回归系数?由AR?p?模型的自协方差函数?0,?1,...,?p通过由拉沃克方程
?1??1???0??????0?2???1?????????p?????p?1?p?2确定。白噪声的方差?2为
?p?1??p?2?????0?? （6.66）
?2??0???1?1??2?2?...??p?p? （6.67）
从样本观测值y1,y2,...,yN可以构造出样本自协方差函数的估计：
1?k?NN?kj?1?yjyj?k k?0,1,...p , （6.68）
因此根据自协方差函数的估计，可以联合求解除系数估计量。
2、最小二乘估计
在相异根的条件下，自协方差解：
?j?g1?1j?g2?2j?...?gp?pj （6.69）
其中特征根??1,?2,...,?p?为特征方程?p??1?p?1?...??p?0的解。
如果特征方程
?p??1?p?1??2?p?2????p?0
的根(?1,?2,?,?p)互不相同，那么我们有
jj ?j?g1?1j?g2?2???gp?p这里(g1,g2,?,gp)是由p个初始值(?0,?1,?,?p?1)确定的待定系数。我们能够证明这p个初始值(?0,?1,?,?p?1)?是p2?p2矩阵?2[Ip2?(F?F)]?1的第一列的前面p个元。这里
??1?2?10?F??01??????00??p?1?p??00???00?
??????10??我们可以利用最小二乘法来估计AR(p)过程中的未知参数。把观察值代入方程（6.60）中可得
yp?1?c??1yp??2yp?1?yp?2?c??1yp?1??2yp?yT?c??1yT?1??2yT?2?把它写成矩阵的形式为
y?X??u
??py1?up?1??py2?up?2??pyT?p?uT
这里
y?(yp?1,yp?2,?,yT)?，u?(up?1,up?2,,uT)?，??(c,?1,?,?p)?
?1yp?y1??1y??yp?12? X??????????1y?y?T?1T?p??? 参数向量?的最小二乘估计量为
??(X?X)?1X?y ??是相合的和渐近正态的。 如果ut服从正态分布，那么最小二乘法估计量?
第四节 自回归移动平均过程ARMA?p,q?
如果混合自回归移动平均过程中自回归部分的阶数为零，则它就成为一个纯移动平均过程；如果混合自回归移动平均过程中移动平均部分的阶数为零，则它就成为一个纯自回归过程。所以AR过程和MA过程均可看成是ARMA过程的特例。
一、ARMA?p,q?过程的性质
ARMA?p,q?表达式为：
yt?c??1yt?1??2yt?2?....??pyt?p?ut??1ut?1?...??qut?q （6.70）
写成滞后算子的形式为：
?1??L??L?....??L?y2p12pt?c??1??1L?...??qLq?ut （6.71）
两侧同时除以?1??1L??2L2?....??pLp?，从而得到
yt?????L?ut （6.72）
其中
??L???1??1L??2L2?....??pLp???j?0??1??L?...??L?q1q
??c/?1??1??2?....??p?
j??
从而可以发现，ARMA?p,q?过程的平稳性完全取决于回归参数??1,?2,...,?p?而与移动平均参数无关。即ARMA?p,q?过程的平稳性条件为特征方程：
1??1z??2z2?....??pzp?0 (6.73) 的根在单位圆外。
方程（6.70）变形可得
yt????1?yt?1?????2?yt?2????....??p?yt?p????ut??1ut?1?...??qut?q （6.74）两边同时乘以?Yt?j???，求期望得到自协方差。当j?q时，结果方程的形式p阶自协方差形式：
?j??1?j?1??2?j?2?....??p?j?p j?q?1,q?2,... （6.75） 从而解为
?j?h1?1j?h2?2j?....?hp?pj （6.76）
j?q时的自协方差函数比较复杂，并且不具有应用意义。不过ARMA?p,q?过程的自相关函数都具有拖尾特征。
ARMA?p,q?过程容易出现的两个问题：
(1)首先就是过度参数化问题。例如一个白噪声过程yt?ut也可以用
?1??L?yt??1??L?ut表示。此时无论?取何值，利用?1??L?yt??1??L?ut都能
够很好的拟合数据，因此造成估计的困难。
(2)ARMA?p,q?过程的表达式（6.71）的滞后多项式进行因式分解得到
?1??1L??1??2L?....?1??pL??yt?????1??1L??1??2L?...?1??qL?ut
假设自回归算子?1??1L??2L2?....??pLp?和移动平均算子?1??1L?...??qLq?存在
