闲揽烟雨
如果对X(z)单位圆上进行等距离采样
现在要问，这样采样以后，信息有没有损失？或者说，采样后所获得的有限长序列xN(n)能不能代表原序列x(n)。
开始
为了弄清这个问题，我们从周期序列
由于
所以
也即
是原非周期序列x(n)的周期延拓序列，其时域周期为频域采样点数N。
在第一章我们看到，时域的采样造成频域的周期延拓，这里又对称的看到，频域采样同样造成时域的周期延拓。
因此，如果序列x(n)不是有限长的，则时域周期延拓时，必然造成混叠现象，因而一定会产生误差。
对于长度为M的有限长序列，只有当频域采样点数N大于或等于序列长度M时，才有
即可由频域采样值X(k)恢复出原序列x(n)，否则产生时域混叠现象，这就是所谓的频域采样定理。
2.用DFT进行谱分析的误差问题 （1）混叠现象
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利用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换，为避免混叠失真，按照抽样定理的要求，采样频率至少是信号最高频率的两倍。
解决混叠问题的唯一方法是保证采样频率足够高。 （2）频谱泄露
任何带限信号都是非时限的，任何时限信号都是非带限的。实际问题中遇到的离散时间序列可能是非时限的、无限长序列，在对该序列利用DFT进行处理时，由于作DFT的点数总是有限的，因此就有一个必须将该序列截断的问题。序列截断的过程相当于给该序列乘上一个矩形窗口函数RN(n)。如果原来序列的频谱为数的频谱为
，则截断后有限长序列的频谱为
的频谱“泄露”
，矩形窗函
由于矩形窗函数频谱的引入，使卷积后的频谱被展宽了，即到其它频率处，称为频谱泄露。
在进行DFT时，由于取无限个数据是不可能的，所以序列的时域截断是必然的，泄露是难以避免的。为了尽量减少泄露的影响，截断时要根据具体的情况，选择适当形状的窗函数，如汉宁窗或汉明窗等。 （3）栅栏效应
由于DFT是有限长序列的频谱等间隔采样所得到的样本值，这就相当于透过一个栅栏去观察原来信号的频谱，因此必然有一些地方被栅栏所遮挡，这些被遮挡的部分就是未被采样到的部分，这种现象称为栅栏效应。由于栅栏效应总是存在的，因而可能会使信号频率中某些较大的频率分量由于被 “遮挡”而无法得到反映。此时，通常在有限长序列的尾部增补若干个零值，借以改变原序列的长度。这样对加长的序列作DFT时，由于点数增加就相当于调整了原来栅栏的间隙，可以使原来得不到反映的那些较大的频率分量落在采样点上而得到反映。 例题
1.设x(t)的最高频率fc不超过3Hz，现用fs＝10Hz，即T＝0.1s对其抽样，求
所得到的频率最大分辨率。如果信号x(n)由三个正弦组成，其频率分别f1＝2Hz，f2＝2.02Hz，f3＝2.07Hz，即
那么用DFT求其频谱时，能否分辨出三个频率分量？
解：x(t)的最高频率fc不超过3Hz，现用fs＝10Hz对其抽样，由抽样定理可知，不会发生混叠问题。Tp＝25.6s，对x(n)做DFT时，所得到的频率最大分辨率
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如果信号x(n)由三个正弦组成，其频率分别f1＝2Hz，f2＝2.02Hz，f3＝2.07Hz，那么用DFT求其频谱时，由于又由于
，所以不能分辨出由f2产生的正弦分量；
，所以能分辨由f3产生的正弦分量。
2.对有限长序列
，即
，
的Z变换在单位圆上进行5等份采
样，得到采样值
试根据频率采样定理求的逆离散傅里叶变换。
解：
第四章：快速傅里叶变换并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种快速算法。
4.2直接计算DFT的问题及改进的途径
直接计算DFT，需要 （1）
的对称性
次复数乘法，
次复数加法。
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（2）
的周期性
利用
的对称性和周期性，将大点数的DFT分解成若干个小点数的DFT，FFT
正是基于这个基本思路发展起来的。
分类：按时间抽取（DIT）算法和按频率抽取（DIF）算法。 一、重点与难点
1.DFT提高运算量的途径；
2.基2FFT的算法原理和FFT运算特点； 3.实序列FFT算法思路； 二、具体讲解
1.DFT提高运算量的途径
直接计算离散傅里叶变换，由于计算量近似正比于N2，显然对于很大的N值，直接计算离散傅里叶变换要求的算术运算量非常大。我们可以利用系数WNnk的特性来改善离散傅里叶变换的计算效率。 （1） （2） 利用
的周期性
的对称性和周期性，可以将大点数的DFT分解成若干个小点数的DFT，的对称性
快速傅里叶变换正是基于这个基本思路发展起来的。FFT算法基本上可分为两大类，即按时间抽取（DIT）算法和按频率抽取（DIF）算法。 2.基2FFT的算法原理和FFT运算特点 对于算法原理，要求能够看懂分解流图。 例题
若已知有限长序列
（
和
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，画出其按时间抽取的基2FFT流图，）的值。
并按FFT运算流程计算
解：（1）基2FFT流图
（2）
，
，
解：
2.画一个按时间抽取4点序列的基2FFT流图。在图上标明时域、频域各输入、
输出项的排列顺序，并标出由第4根水平线（从上往下数）发出的所有支路的系数。
第五章：本章讲授了设计IIR滤波器常用的两种设计方法——脉冲响应不变法和双线性变换法。
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