拧巴小姐2．3 弦切角定理
[对应学生用书P19]
[自主学习]
1．弦切角的定义
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 2．弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．
[合作探究]
弦切角的三要素是什么？
提示：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切．
[对应学生用书P20]
弦切角的计算 [例1] 如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于D，AB延长线交CD于点C，若∠CAD＝25°，求∠C.
[思路点拨] 本题主要考查弦切角定义及定理的应用．解此题时，需连接BD，创设弦切角∠CDB，然后求∠C.
[精解详析] 连接BD.∵AB为直径， 则∠BDA＝90°.
又CD为⊙O的切线，切点为D， ∴∠BDC为弦切角． ∴∠BDC＝∠CAD＝25°. ∴∠CDA＝90°＋25°＝115°.
在△ACD中，∠C＝180°－∠A－∠CDA＝40°.
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利用定义确定弦切角时要紧扣定义中的三要素．确定大小时，要区分弦切角所夹的弧对应的是圆心角还是圆周角．
1.如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是TB上的一点，若∠TAB＝100°，则∠BTD的度数为( )
A．20° C．60°
B．40° D．80°
解析：选D 如图，作四边形ABET，因为四边形ABET是圆内接四边形，
所以∠E＝180°－∠A＝80°， 又CD是⊙O的切线，T为切点， 所以∠BTD＝∠E＝80°.
弦切角定理的应用 [例2] 如图，AB为⊙O的弦，CD切⊙O于P，AC⊥CD于C，BD⊥DC于
D，PQ⊥AB于Q.求证：PQ2＝AC·BD.
[思路点拨] 本题主要考查弦切角定理的应用，解题时连接PA、PB证明△ACP∽△PQB，△BDP∽△PQA后可证PQ＝AC·BD.
[精解详析] 连接PA，PB，如图所示． ∵CD切⊙O于P， ∴∠1＝∠2.
∵AC⊥CD于C，PQ⊥AB于Q， ∴∠ACP＝∠PQB＝90°. ∴△ACP∽△PQB. ∴AC∶PQ＝PA∶BP. 同理，△BDP∽△PQA， ∴PQ∶BD＝PA∶BP.
∴AC∶PQ＝PQ∶BD，即PQ＝AC·BD.
利用弦切角定理证明问题的关键是根据条件创设弦切角，从而寻找角的等量关系．
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2．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R.求证：RP＝RQ.
证明：作直径BC，连接CQ，因为BC是⊙O的直径， 所以∠B＋∠C＝90°， 因为OA⊥OB，
所以∠B＋∠BPO＝90°. 所以∠C＝∠BPO. 又∠BPO＝∠RPQ， 所以∠C＝∠RPQ. 又因为RQ为⊙O的切线， 所以∠PQR＝∠C. 所以∠PQR＝∠RPQ. 所以RP＝RQ.
[例3] 如图，圆O的直径AB＝8，C为圆周上一点，BC＝4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
[思路点拨] 本题考查利用弦切角定理进行计算问题．解此题时，连接BE，AC，OC.可知△AEB为直角三角形，利用角的关系确定∠EBA＝30°可求AE.
[精解详析] 连接OC，BE，AC，则BE⊥AE. ∵BC＝4，∴OB＝OC＝BC＝4， 即△OBC为正三角形， ∴∠CBO＝∠COB＝60°. 又直线l切⊙O于C， ∴∠DCA＝∠CBO＝60°，
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∵AD⊥l，∴∠DAC＝90°－60°＝30°， 1
而∠OAC＝∠ACO＝∠COB＝30°，∴∠EAB＝60°.
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在Rt△BAE中，∠EBA＝30°，∴AE＝AB＝4.
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弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，利用弦切角定理时，注意结合条件添加适当的辅助线以构造弦切角．
3.如图，PA，PB是⊙O的切线，点C在AB上，CD⊥AB，CE⊥PA，
CF⊥PB，垂足分别为D，E，F.
求证：CD＝CE·CF. 证明：连接CA，CB. 因为PA，PB是⊙O的切线， 所以∠CAP＝∠CBA， ∠CBP＝∠CAB.
又因为CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB， 所以Rt△CAE∽Rt△CBD， Rt△CBF∽Rt△CAD， 所以＝，＝
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CACECBCF，
CBCDCACDCECDCDCF2
所以＝，即CD＝CE·CF.
本课时常考查弦切角定理及应用，题目难度中等．
[考题印证]
如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明：
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(1)AC·BD＝AD·AB； (2)AC＝AE. [命题立意]
本题考查平面几何中的弦切角定理及相似三角形的判定与性质． [自主尝试] (1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB， 同理∠ACB＝∠DAB， 所以△ACB∽△DAB. 从而＝， 即AC·BD＝AD·AB.
(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD， 又∠ADE＝∠BDA， 得△EAD∽△ABD. 从而＝， 即AE·BD＝AD·AB. 结合(1)的结论，AC＝AE.
ACABDADBAEADBABD[对应学生用书P21] 一、选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，DB，DC分别切⊙O于B，C两点，若∠ACE＝25°，则∠D为( )
A．50°
B．55°
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