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第十章 计数原理
第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、选择题
1．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )
A C D B A．72种 B．48种 C．24种 D．12种
解析 先分两类：一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，
D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种涂法；二是用三种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．故不同的涂法共有24＋24×2＝72种． 答案 A
2．如图，用6种不同的颜色把
图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域 不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )． A．400种 C．480种
B．460种 D．496种
解析 从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)，故选C. 答案 C
3．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展，某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团．且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为
( )．
C．180
D．216
A．72 B．108
解析 设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：
(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C4种方法，然后从甲与丙、丁、教育配套资料K12
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戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有C4A3种方法， 故共有C4C4A3种参加方法；
(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C4种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A3种方法，这时共有C4A3种参加方法； 综合(1)(2)，共有C4C4A3＋C4A3＝180种参加方法． 答案 C
4．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( ) A．8种 C．10种
B．9种
D．11种
123
233
23
2
123
23
解析 分四步完成，共有3×3×1×1＝9种． 答案 B
5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有
( )． D．96种
44
A．300种 B．240种 C．144种
解析 甲、乙两人不去巴黎游览情况较多，采用排除法，符合条件的选择方案有C6A4－C2A5＝240. 答案 B
6．4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有( )． A．12种 B．24种 C．30种 D．36种
解析 分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲．共有C4种不同选法，第二步给第3位同学选课程，有2种选法．第三步给第4位同学选课程，也有2种不同选法．故共有C4×2×2＝24(种)． 答案 B 二、填空题
7．将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1＜N2＜N3的所有排列的个数是________．(用数字作答)
解析 由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为A3A5＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二
行的排法种数为A2A2＝4，由分步计数原理满足条件的排列个数是240. 答案 240
8．数字1,2,3，…，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一教育配套资料K12
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12
2
2
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行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有________种．
解析 必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法．对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的填法，由分步计数原理知共有2×3＝12种填法． 答案 12
9．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．
解析 当相同的数字不是1时，有C3个；当相同的数字是1时，共有C3C3个，由分类加法计数原理得共有“好数”C3＋C3C3＝12个． 答案 12
10．给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
1
11
1
11
2
由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种．(结果用数值表示)
答案 21；43 三、解答题
11．如图所示三组平行线分别有m、n、k条，在此图形中 (1)共有多少个三角形？ (2)共有多少个平行四边形？
解 (1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一教育配套资料K12
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对应的，由分步计数原理知共可构成m·n·k个三角形．
(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成CmCn＋CnCk＋CkCm个平行四边形．
12．设集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)是坐标平面上的点，a，b∈M. (1)P可以表示多少个平面上的不同的点？ (2)P可以表示多少个第二象限内的点？ (3)P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？
解 (1)分两步，第一步确定横坐标有6种，第二步确定纵坐标有6种，经检验36个点均不相同，由分步乘法计数原理得N＝6×6＝36(个)．
(2)分两步，第一步确定横坐标有3种，第二步确定纵坐标有2种，根据分步乘法计数原理得N＝3×2＝6个．
(3)分两步，第一步确定横坐标有6种，第二步确定纵坐标有5种，根据分步乘法计数原理得N＝6×5＝30个．
13．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？ 解 可将星期一、二、三、四、五分给5个人，相邻的数字不分给同一个人． 星期一：可分给5人中的任何一人，有5种分法；
星期二：可分给剩余4人中的任何一人，有4种分法；星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人，有4种分法；
同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有5×4×4×4×4＝1 280种不同的排法．
14．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射． (1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？ (2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？
(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？
解 (1)显然对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．
(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有3＝81(个)． (3)分为如下四类：
第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；
第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C4·C2＝12种方法； 教育配套资料K12
2
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第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C4·C2＝6种方法；
第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有C4·C3＝12种方法．
所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(个)．
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