核能气质少年5.3.2霍尔布鲁克螺线直角坐标系下曲线方程的推导
设霍尔布兽克螺线在直角坐标系下的方程为Y=F(x)则由上一问模型中给出的公式得在螺线上的每一点的曲率半径都满足表达式R（1?y）距缓和曲线开始时的长度满足表达式 \'\'y3\'22xjL?
x0?1?(Y\')2dx 在螺线上每一点都满足A2?RL得出在螺线的曲线方程应满足:
3?xj\'22(1?Y)???1?(Y\')2dx?A2（20） ?x0Y\'\'?\'\'\'\'\'\'??YS?ys,YS?ysxj为了简化计算，当缓和曲线上点的曲率半径充分大时可将L?x0?1?(Y\')2dx近似的等于直
线上从点x=x。到点x=xt的直线距离，设直线的方程为y=kx+b。
（xj-x0）1?k上微分方程可化为： 则L?3?\'22?x-x）1?k2(1?Y)2（0\'\'（21） ?A?Y?\'\'\'\'\'\'Y?y,Y?ySsSs?2
求出此微分方程即可得出Y的表达式，积分得到Y的表达式。要求解处此微分方 程解析解非常困难，本模型通过计算数值解在曲线上描点后拟合得出其曲线方 程。
七模型求解 7.1原始数据的处理
查阅资料可得出弯道曲线部分的拟合多项式为:
y=p1*x^10+p2*x^9+p3*x^8+p4*x^7+p5*x^6+p6*x^5+p7*x^4+p8*x^3+p9*x^2+p10*x+p11 Coefficients: p1=3,1713e-23; P2=-1.4584e-19; p3=2.835e-16; P4=-3.0413e-13; p5 =1.975e-10; P6=-8.0578e-8; p7=2.0784e-005; P8=-0.0033561; p9=0.33085; P10=-18.581;
P11=695.16; 上述多项式即为插值拟合后得到的拟合曲线方程。去掉一些不合理的点之后得 到多项式函数曲线图像如图
‘
图六最终确定的多项式函数曲线
在如图曲线中X的取值可从50m到60m可研究此段水平方向上0.6公里的弯道 情况来说明公路没计的合理性和缓和曲线的设计。 1.2公路弯道设计合理性求解 7.1.1计算弯道的曲率半径
由求得的拟介多项式函数及曲率半径的公示计算可得曲率半径为: far i=1:1259 in=x(i);
Out(i)=p1*in^10+p2*in^9+p3*in^8+p4*in^7+p5*in^6+p6*in^5+p7*in^4+p8*in^3+p9*in^2+p10*in+p11; End
d1=diff(Out,1) d2=diff(Out,2); d1= abs(d1); d2=abs(d2); For i=1:1259
ans(i)=sqrt(( 1+d1(i)^2)^3)/d2(i); End
因此在入弯时曲率半径为142.9576m此曲率半径在x=50时取得，最小 曲率半径为86.9802 m此曲率半径在x=555 m取得。 min(ans) ans=86.9802
7.1.1计算弯道个点的长度
根据曲线弧长的计算公式，在计算公式中，积分可变成求个段得和matlab实 现代码如下: s = sqrt(1+d1^2); For i=1:1259
S(i)=sqrt(1+d1(i)^2); End
For i=1:1259 q(i)=sum(s(1:i)); end
得出的q即为各点到起点的曲线长度。 7.7 .2选取合适的参数u，e，g
在公路上行驶假设地面对汽车的横附着力系数是一个常量，井且不会改变。
2查阅相关资料可取u?0.25，路面超高e=0.1，为了简化计算此处 ，g?9.8m/s的滚动摩擦因数取附着力系数的1/30即是???。下面来求最容易失去控制发生侧 30 all 3吃〕 滑的点在曲线中的位置。按照模型推理出来的公式求各点的速度的matlab代码 如下:
For i=1:1259
f(i)=sqrt(2*(1/30)*0.25*9.8*q(i)+ans(i)*9.8*0.25*(31/30)); End min(f)
ans =17.2839
得出要安全过弯在弯道入口处得最大速度为17.2839n/s转换为km/h得入弯时的 速度应为62.2221km/h。即在入弯处应限制最大速度60km/h. 7.3缓和曲线设计模型的求解 7.3.1缓和曲线中参数A2的确定
考虑汽车中乘客的舒适程度，查阅相关资料得到离心加速度变化率一般都在 0.35到0.5之间，即a∈(0.3,0.5)，平均速度v0取0.0214v得:
20.0214vs（22） Lmin?Rsa\'结合行驶时间不超过3s得L≤317.2839=51.8517，为方便计算取L=50m。当L=50m时A=84.5451.
7.3.2计算缓和曲线在直角坐标系下的方程
由模型建立中给出的公式结合已算出的数据可将微分方程中参数加以确定:
3?\'22?x-x）1?k2(1?Y)（0?A2（23） ?Y\'\'?\'\'\'\'\'\'?YS?ys,YS?ys其中A=84.5451，ys=1.2133，ys=0.027，由假设得到直线的斜率与入弯点的斜
’‘
率相等，因此k=1.2133，此微分方程求解析解很困难，冈此求出一系列数值解 后描点得出曲线的形状，再用最小二乘法拟合出缓和曲线的曲线方程。
求解微分方程数值解需对模型中变量做近似，因为两点间直线冲离最短，当 直线距离为50m时缓和曲线取值大于50m，但由于缓和曲线的曲率半径很小所 以可以近似的认为缓和曲线设置在直线长度为50区间内，求解得出直线上距离 入弯点50米得点的坐标为(18.5, 243.0843)求解过程如下: x=[0:0.5:50];
and=(50-x)*sqrt(1+1.2133^2); and(38) ans=
49.5271 X(38) ans= 18.5
即计算出微分方程中x坐标为18.5到50的各点的函数值即可。求解步骤如下: 1.将微分方程变为一阶微分方程组:
\'?u1?Y，u2?u1?3?22?2(1?u2) （?A2（24） ?x-x0）1?k\'u2??u\'?y\',u\'\'?y\'\'2Ss2Ss??2.上述方程中求出u2关于x的一系列值。
3对u2求积分，得出u1即为缓和曲线上的点。描点得到加入缓和曲线后公路的弯道情况如下:
图七 缓和曲线与弯道连接示意图
曲线用4次多项式拟合后多项式函数为: y=p1*x^4+p2*x^3+p3*x^2+p4*x+p5 Coefficients： P1=1.2659e-17
P2=-1.747e-15 p3=8.7342e- 14 P4=-1.2133 p5=341.97
九模型优化
1.公路设计合理性的优化
考虑到方便计算，上述模型只从汽车过弯道时是否发生侧滑情况加以分析， 但没有考虑另一种罕见的事故情况即侧倾，当汽车速度过快入弯时，车头方向来 不及调整，可能造成汽车侧倾，侧倾与侧滑相似也有一个不发生侧倾的最大速度， 得出不发生侧倾的最大速度后，可以依照原模型进行分析。具体过程与侧滑时相 同。
2.缓和曲线的优化
在设计缓和曲线时，可加入对超高渐变的没计，设弯道超高为e，则应使超 高随缓和曲线长度的大均匀变化即超高与距初始点长度比值为一个常数即:
c?p，（p为常数）（25） l在超高上升过程中，缓和曲线应有一个旋转轴，旋转轴与行车道外测边缘之 间的相对坡度。附加坡度或超高渐变率太大太小都不好:可由下面公式确定:
